Cacáudio é um cantor e compositor de MPB sandumonense, que tem o número de acessos ao seu perfil no Spotify e de músicas tocadas neste aplicativo expressos pelo vetor aleatório
, com função de probabilidade (FP) conjunta descrita por:
em que
e
. Encontre a FP (identificando-a, caso conhecida) do:
(a) Número de acessos.
(a) Número de acessos.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos um cantor chamado Cacáudio cuja quantidade de acessos ao perfil no Spotify e o número de músicas tocadas são representados pelo vetor aleatório
. A função de probabilidade conjunta está dada por uma expressão que envolve os parâmetros
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidade (FP) marginal do número de acessos, ou seja, de
. Para isso, vamos precisar entender como obter a distribuição marginal a partir da distribuição conjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função de probabilidade marginal de
, devemos somar a função de probabilidade conjunta sobre todas as possíveis valores de
. Matemáticamente, isso é representado por:
Isso significa que, para cada valor de
, somamos as probabilidades de todas as possíveis combinações com
.
Passo 3
Vamos substituir a função de probabilidade conjunta fornecida na soma:
Note que as funções indicadores garantem que
e
sejam não negativos e que
.
Passo 4
Observamos que a expressão dentro da soma se parece com a expansão binomial. De fato, para cada
fixo, a soma sobre
de
é a expansão de
. Portanto, temos:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da FP marginal:
Essa é a função de probabilidade de uma distribuição de Poisson com parâmetro
.
Resposta
A função de probabilidade marginal do número de acessos
é:
Ou seja,
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
.