Cacáudio é um cantor e compositor de MPB sandumonense, que tem o número de acessos ao seu perfil no Spotify e de músicas tocadas neste aplicativo expressos pelo vetor aleatório (X1, X2)^top, com função de probabilidade (FP) conjunta descrita por:
p(x1, x2)=e^-mu mu^x1 p^x2(1-p)^x1-x2x2!(x1-x2)! I0,1, ldots(x1) I0,1, ldots, x1(x2),
em que p in(0,1) e mu>0. Encontre a FP (identificando-a, caso conhecida) do:
(a) Número de acessos.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos um cantor chamado Cacáudio cuja quantidade de acessos ao perfil no Spotify e o número de músicas tocadas são representados pelo vetor aleatório (X1, X2)^top. A função de probabilidade conjunta está dada por uma expressão que envolve os parâmetros mu e p. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidade (FP) marginal do número de acessos, ou seja, de X1. Para isso, vamos precisar entender como obter a distribuição marginal a partir da distribuição conjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função de probabilidade marginal de X1, devemos somar a função de probabilidade conjunta sobre todas as possíveis valores de X2. Matemáticamente, isso é representado por:
pX1(x1) = sumx2=0^x1 p(x1, x2)
Isso significa que, para cada valor de x1, somamos as probabilidades de todas as possíveis combinações com x2.

Passo 3

Vamos substituir a função de probabilidade conjunta fornecida na soma:
pX1(x1) = sumx2=0^x1 e^-mu mu^x1 p^x2 (1-p)^x1-x2x2! (x1-x2)! I0,1, ldots(x1) I0,1, ldots, x1(x2)
Note que as funções indicadores garantem que x1 e x2 sejam não negativos e que x2 <= x1.

Passo 4

Observamos que a expressão dentro da soma se parece com a expansão binomial. De fato, para cada x1 fixo, a soma sobre x2 de p^x2 (1-p)^x1-x2 1x2! (x1-x2)! é a expansão de (p + (1-p))^x1 = 1^x1 = 1. Portanto, temos:
sumx2=0^x1 p^x2 (1-p)^x1-x2x2! (x1-x2)! = (p + (1-p))^x1x1! = 1x1!

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da FP marginal:
pX1(x1) = e^-mu mu^x1 1x1! I0,1, ldots(x1)
Essa é a função de probabilidade de uma distribuição de Poisson com parâmetro mu.

Resposta

A função de probabilidade marginal do número de acessos X1 é:
pX1(x1) = e^-mu mu^x1x1! para x1 = 0, 1, 2, ldots
Ou seja, X1 segue uma distribuição de Poisson com parâmetro mu.

Exercícios relacionados