Na mega-sena existem sessenta dezenas numeradas
, das quais seis serão sorteadas. Sejam
: a menor dezena sorteada; e
: a maior dezena sorteada.
(d) Prove que
é uma FP.
(d) Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a Mega-Sena, onde 6 números são sorteados de um total de 60. Temos duas variáveis: $ X $, que é o menor número sorteado, e $ Y $, que é o maior número sorteado. O que precisamos provar aqui é que $ p_Y(y) $ é uma Função de Probabilidade (FP). Para isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades e verificar se $ p_Y(y) $ satisfaz as condições de uma FP.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma Função de Probabilidade. Uma FP precisa cumprir duas condições:
- $ p_Y(y) \geq 0 $ para todo $ y $.
- A soma de todas as probabilidades $ p_Y(y) $ deve ser igual a 1.
Então, nosso objetivo é mostrar que $ p_Y(y) $ atende essas duas condições.
Passo 3
Vamos calcular $ p_Y(y) $, a probabilidade de que o maior número sorteado seja igual a $ y $. Para isso, precisamos considerar que:
- Um dos números sorteados é exatamente $ y $.
- Os outros 5 números sorteados são menores que $ y $.
O total de maneiras de escolher 6 números entre 60 é $ C(60, 6) $.
Passo 4
Agora, vamos calcular o número de maneiras de escolher 5 números menores que $ y $. Como $ y $ é o maior número, os 5 números restantes devem ser escolhidos entre os $ y-1 $ números menores que $ y $. Isso dá $ C(y-1, 5) $ maneiras.
Passo 5
Assim, a probabilidade $ p_Y(y) $ é a razão entre o número de maneiras favoráveis e o total de maneiras possíveis:
Essa fórmula nos dá a probabilidade de que o maior número sorteado seja exatamente $ y $.
Passo 6
Agora, vamos verificar as duas condições de uma Função de Probabilidade:
- $ p_Y(y) \geq 0 $: Como combinações são números positivos e $ C(y-1, 5) $ e $ C(60, 6) $ são positivos, $ p_Y(y) $ também é positivo.
- A soma de todas as probabilidades $ p_Y(y) $ para $ y = 6 $ até $ 60 $ deve ser 1:
Sabemos que $ \sum_{y=6}^{60} C(y-1, 5) = C(60, 6) $, pois estamos contando todas as combinações possíveis de 6 números.
Passo 7
Substituindo na soma:
Portanto, a soma das probabilidades é igual a 1.
Resposta
Conseguimos mostrar que $ p_Y(y) $ é uma Função de Probabilidade porque é sempre não negativa e a soma de todas as suas probabilidades é igual a 1.