Na mega-sena existem sessenta dezenas numeradas (01,02, ldots, 60), das quais seis serão sorteadas. Sejam X: a menor dezena sorteada; e Y: a maior dezena sorteada.
(f) Prove que pX(x) é uma FP.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a Mega-Sena, que tem 60 números (de 01 a 60) e sorteia 6 desses números. Aqui, estamos trabalhando com probabilidades, especificamente com variáveis aleatórias. As variáveis são:
  • X: o menor número sorteado.
  • Y: o maior número sorteado.
O que precisamos provar é que a função pX(x), que representa a probabilidade de cada valor de X, é uma função de probabilidade (FP). Isso significa que ela deve satisfazer duas condições:
  1. Todas as probabilidades são maiores ou iguais a zero.
  2. A soma de todas as probabilidades é igual a 1.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular pX(x), que é a probabilidade de que o menor número sorteado seja x. Para x ser o menor número, devemos ter:
  • Um número específico x está entre os 6 sorteados.
  • Os outros 5 números sorteados devem ser maiores que x.
Vamos calcular isso.

Passo 3

O total de maneiras de escolher 6 números entre 60 é dado pelo coeficiente binomial:
C(60, 6)
Este é o número total de combinações possíveis na Mega-Sena.

Passo 4

Para x ser o menor número sorteado, fixamos x como um dos 6 números. Agora, precisamos escolher os outros 5 números dentre os números maiores que x, ou seja, de x+1 a 60. O número de maneiras de fazer isso é:
C(60 - x, 5)
Porque há 60 - x números maiores que x.

Passo 5

Assim, a probabilidade de x ser o menor número sorteado é:
pX(x) = C(60 - x, 5)C(60, 6)
Isso define nossa função de probabilidade para X.

Passo 6

Agora, vamos verificar as duas condições para p_X(x) ser uma função de probabilidade:
  1. Não-negatividade: Como combinações são sempre números positivos e estamos dividindo um número positivo por outro, pX(x) >= 0 para todo x.
  2. Soma das probabilidades igual a 1:
sumx=1^55 pX(x) = sumx=1^55 C(60 - x, 5)C(60, 6)
Note que o menor valor de x é 1 e o maior é 55, porque se x fosse 56 ou mais, não teria 5 números maiores para completar os 6 sorteados.

Passo 7

Para provar que a soma é 1, observamos que estamos contando todas as possíveis combinações onde x varia de 1 a 55. Cada combinação única de 6 números tem exatamente um menor número x, então todas as combinações possíveis estão sendo contabilizadas uma única vez.
Matematicamente:
sumx=1^55 C(60 - x, 5) = C(60, 6)
Portanto:
sumx=1^55 C(60 - x, 5)C(60, 6) = C(60, 6)C(60, 6) = 1

Resposta

Assim, comprovamos que pX(x) satisfaz todas as condições de uma função de probabilidade. Portanto, pX(x) é uma Função de Probabilidade (FP).

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