Na mega-sena existem sessenta dezenas numeradas
, das quais seis serão sorteadas. Sejam
: a menor dezena sorteada; e
: a maior dezena sorteada.
(f) Prove que
é uma FP.
(f) Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a Mega-Sena, que tem 60 números (de 01 a 60) e sorteia 6 desses números. Aqui, estamos trabalhando com probabilidades, especificamente com variáveis aleatórias. As variáveis são:
- X: o menor número sorteado.
- Y: o maior número sorteado.
O que precisamos provar é que a função
, que representa a probabilidade de cada valor de X, é uma função de probabilidade (FP). Isso significa que ela deve satisfazer duas condições:
- Todas as probabilidades são maiores ou iguais a zero.
- A soma de todas as probabilidades é igual a 1.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular
, que é a probabilidade de que o menor número sorteado seja x. Para x ser o menor número, devemos ter:
- Um número específico x está entre os 6 sorteados.
- Os outros 5 números sorteados devem ser maiores que x.
Vamos calcular isso.
Passo 3
O total de maneiras de escolher 6 números entre 60 é dado pelo coeficiente binomial:
Este é o número total de combinações possíveis na Mega-Sena.
Passo 4
Para x ser o menor número sorteado, fixamos x como um dos 6 números. Agora, precisamos escolher os outros 5 números dentre os números maiores que x, ou seja, de x+1 a 60. O número de maneiras de fazer isso é:
Porque há 60 - x números maiores que x.
Passo 5
Assim, a probabilidade de x ser o menor número sorteado é:
Isso define nossa função de probabilidade para X.
Passo 6
Agora, vamos verificar as duas condições para p_X(x) ser uma função de probabilidade:
-
Não-negatividade: Como combinações são sempre números positivos e estamos dividindo um número positivo por outro,
para todo x. -
Soma das probabilidades igual a 1:
Note que o menor valor de x é 1 e o maior é 55, porque se x fosse 56 ou mais, não teria 5 números maiores para completar os 6 sorteados.
Passo 7
Para provar que a soma é 1, observamos que estamos contando todas as possíveis combinações onde x varia de 1 a 55. Cada combinação única de 6 números tem exatamente um menor número x, então todas as combinações possíveis estão sendo contabilizadas uma única vez.
Matematicamente:
Portanto:
Resposta
Assim, comprovamos que
satisfaz todas as condições de uma função de probabilidade. Portanto,
é uma Função de Probabilidade (FP).