Rachel e Ross marcam um encontro no Central Perk às 13h30. O horário de chegada da Rachel (X1) é uniforme entre 13h15 e 13h45, enquanto o horário de chegada do Ross ( X2 ) é uniforme entre 13 h 05 e 13h55, com X1 e X2 independentes. Calcule a:
(b) Probabilidade da Rachel ser a primeira a chegar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a Rachel e o Ross marcaram de se encontrar no Central Perk às 13h30. A Rachel pode chegar em qualquer horário entre 13h15 e 13h45, e o Ross pode chegar entre 13h05 e 13h55. Queremos descobrir qual é a chance da Rachel chegar antes do Ross. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição uniforme. Vamos precisar entender como calcular probabilidades de eventos envolvendo duas variáveis independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os intervalos de tempo de cada um. A Rachel chega entre 13h15 e 13h45, o que dá um intervalo de 30 minutos. Já o Ross chega entre 13h05 e 13h55, totalizando 50 minutos. Como ambos os horários são uniformes, isso significa que cada momento dentro desses intervalos tem a mesma probabilidade de ocorrer.

Passo 3

Como as chegadas são independentes, queremos calcular a probabilidade de que o tempo de chegada da Rachel ( X1) seja menor que o do Ross ( X2), ou seja, P(X1 < X2). Para visualizar isso, podemos representar os tempos de chegada em um gráfico, onde o eixo horizontal é X1 (Rachel) e o eixo vertical é X2 (Ross).

Passo 4

No gráfico, a área total representa todas as combinações possíveis de chegadas. A área onde X1 < X2 é a parte abaixo da linha diagonal que vai do ponto inicial ao ponto final dos intervalos de tempo. Para encontrar a probabilidade, precisamos calcular a razão entre a área onde X1 < X2 e a área total do retângulo formado pelos intervalos de tempo.

Passo 5

Calculando as áreas:
  • A área total é 30 minutos times 50 minutos = 1500 minutos^2.
  • A área onde X1 < X2 é um triângulo com base e altura iguais a 30 minutos (já que X1 varia 30 minutos). Então, a área desse triângulo é 12 times 30 times 30 = 450 minutos^2.

Passo 6

Agora, a probabilidade de a Rachel chegar antes do Ross é a razão entre a área favorável e a área total:
P(X1 < X2) = 4501500 = 0,3

Resposta

A probabilidade da Rachel ser a primeira a chegar é de 30%.

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