Rachel e Ross marcam um encontro no Central Perk às 13h30. O horário de chegada da Rachel
é uniforme entre 13h15 e 13h45, enquanto o horário de chegada do Ross (
) é uniforme entre 13 h 05 e 13h55, com
e
independentes. Calcule a:
(b) Probabilidade da Rachel ser a primeira a chegar.
(b) Probabilidade da Rachel ser a primeira a chegar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a Rachel e o Ross marcaram de se encontrar no Central Perk às 13h30. A Rachel pode chegar em qualquer horário entre 13h15 e 13h45, e o Ross pode chegar entre 13h05 e 13h55. Queremos descobrir qual é a chance da Rachel chegar antes do Ross. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição uniforme. Vamos precisar entender como calcular probabilidades de eventos envolvendo duas variáveis independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os intervalos de tempo de cada um. A Rachel chega entre 13h15 e 13h45, o que dá um intervalo de 30 minutos. Já o Ross chega entre 13h05 e 13h55, totalizando 50 minutos. Como ambos os horários são uniformes, isso significa que cada momento dentro desses intervalos tem a mesma probabilidade de ocorrer.
Passo 3
Como as chegadas são independentes, queremos calcular a probabilidade de que o tempo de chegada da Rachel (
) seja menor que o do Ross (
), ou seja,
. Para visualizar isso, podemos representar os tempos de chegada em um gráfico, onde o eixo horizontal é
(Rachel) e o eixo vertical é
(Ross).
Passo 4
No gráfico, a área total representa todas as combinações possíveis de chegadas. A área onde
é a parte abaixo da linha diagonal que vai do ponto inicial ao ponto final dos intervalos de tempo. Para encontrar a probabilidade, precisamos calcular a razão entre a área onde
e a área total do retângulo formado pelos intervalos de tempo.
Passo 5
Calculando as áreas:
- A área total é
. - A área onde
é um triângulo com base e altura iguais a 30 minutos (já que varia 30 minutos). Então, a área desse triângulo é .
Passo 6
Agora, a probabilidade de a Rachel chegar antes do Ross é a razão entre a área favorável e a área total:
Resposta
A probabilidade da Rachel ser a primeira a chegar é de 30%.