Cacáudio é um cantor e compositor de MPB sandumonense, que tem o número de acessos ao seu perfil no Spotify e de músicas tocadas neste aplicativo expressos pelo vetor aleatório
, com função de probabilidade (FP) conjunta descrita por:
em que
e
. Encontre a FP (identificando-a, caso conhecida) do:
(b) Número de músicas tocadas no Spotify dado o número de acessos.
(b) Número de músicas tocadas no Spotify dado o número de acessos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão fala sobre Cacáudio, um cantor que tem certos números de acessos e de músicas tocadas no Spotify. Esses números estão representados por um vetor aleatório
com uma função de probabilidade conjunta específica. O conteúdo aqui envolve Probabilidade Condicional e Distribuições de Probabilidade. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a função de probabilidade condicional a partir da função de probabilidade conjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que nos foi dado. A função de probabilidade conjunta é:
Aqui,
e
. As funções indicadoras
garantem que
e
são valores apropriados (não negativos e
).
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a função de probabilidade condicional de
dado
. Em termos matemáticos, queremos encontrar
.
Passo 4
A fórmula geral para a probabilidade condicional é:
Então, precisamos primeiro identificar
, que é a probabilidade marginal de
.
Passo 5
Para encontrar
, somamos a função de probabilidade conjunta sobre todos os possíveis valores de
:
Substituindo a função conjunta:
Passo 6
Observando a expressão acima, percebemos que a soma representa a expansão do termo
, que é igual a
. Portanto:
Isso mostra que
segue uma Distribuição de Poisson com parâmetro
.
Passo 7
Agora, voltando à probabilidade condicional:
Simplificando:
Passo 8
A expressão final é:
Essa é a função de probabilidade da Distribuição Binomial com parâmetros
e
.
Resposta
A função de probabilidade condicional do número de músicas tocadas no Spotify dado o número de acessos é uma Distribuição Binomial com parâmetros
e
. Ou seja,