Cacáudio é um cantor e compositor de MPB sandumonense, que tem o número de acessos ao seu perfil no Spotify e de músicas tocadas neste aplicativo expressos pelo vetor aleatório (X1, X2)^top, com função de probabilidade (FP) conjunta descrita por:
p(x1, x2)=e^-mu mu^x1 p^x2(1-p)^x1-x2x2!(x1-x2)! I0,1, ldots(x1) I0,1, ldots, x1(x2),
em que p in(0,1) e mu>0. Encontre a FP (identificando-a, caso conhecida) do:
(b) Número de músicas tocadas no Spotify dado o número de acessos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão fala sobre Cacáudio, um cantor que tem certos números de acessos e de músicas tocadas no Spotify. Esses números estão representados por um vetor aleatório (X1, X2)^top com uma função de probabilidade conjunta específica. O conteúdo aqui envolve Probabilidade Condicional e Distribuições de Probabilidade. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a função de probabilidade condicional a partir da função de probabilidade conjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que nos foi dado. A função de probabilidade conjunta é:
Aqui, p(x1, x2)=e^-mu mu^x1 p^x2(1-p)^x1-x2x2!(x1-x2)! I0,1, ldots(x1) I0,1, ldots, x1(x2) e mu > 0. As funções indicadoras p in (0,1) garantem que I e x1 são valores apropriados (não negativos e x2).

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a função de probabilidade condicional de X2 dado X1 = x1. Em termos matemáticos, queremos encontrar P(X2 = x2 mid X1 = x1).

Passo 4

A fórmula geral para a probabilidade condicional é:
P(X2 = x2 mid X1 = x1) = P(X1 = x1, X2 = x2)P(X1 = x1)
Então, precisamos primeiro identificar P(X1 = x1), que é a probabilidade marginal de X1.

Passo 5

Para encontrar P(X1 = x1), somamos a função de probabilidade conjunta sobre todos os possíveis valores de x2:
P(X1 = x1) = sumx2=0^x1 p(x1, x2)
Substituindo a função conjunta:
P(X1 = x1) = sumx2=0^x1 e^-mu mu^x1 p^x2(1-p)^x1-x2x2! (x1-x2)!

Passo 6

Observando a expressão acima, percebemos que a soma representa a expansão do termo (p + (1 - p))^x1, que é igual a 1^x1 = 1. Portanto:
Isso mostra que P(X1 = x1) = e^-mu mu^x1 1x1! sumx2=0^x1 x1!x2! (x1-x2)! p^x2 (1-p)^x1-x2 = e^-mu mu^x1x1! segue uma Distribuição de Poisson com parâmetro X1.

Passo 7

Agora, voltando à probabilidade condicional:
Simplificando:
P(X2 = x2 mid X1 = x1) = p(x1, x2)P(X1 = x1) = e^-mu mu^x1 p^x2 (1-p)^x1-x2x2! (x1-x2)!e^-mu mu^x1x1!

Passo 8

A expressão final é:
P(X2 = x2 mid X1 = x1) = binomx1x2 p^x2 (1-p)^x1-x2
Essa é a função de probabilidade da Distribuição Binomial com parâmetros n = x1 e p.

Resposta

A função de probabilidade condicional do número de músicas tocadas no Spotify dado o número de acessos é uma Distribuição Binomial com parâmetros n = x1 e p. Ou seja,
P(X2 = x2 mid X1 = x1) = binomx1x2 p^x2 (1-p)^x1-x2

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