Rachel e Ross marcam um encontro no Central Perk às 13h30. O horário de chegada da Rachel
é uniforme entre 13h15 e 13h45, enquanto o horário de chegada do Ross (
) é uniforme entre 13 h 05 e 13h55, com
e
independentes. Calcule a:
(a) Função densidade de probabilidade conjunta de
e
.
(a) Função densidade de probabilidade conjunta de
Passo 1
Nessa questão, Rachel e Ross combinam de se encontrar no Central Perk às 13h30. A hora que a Rachel chega, chamada de
, pode variar de forma uniforme entre 13h15 e 13h45. Já a hora que o Ross chega,
, também é uniforme, mas entre 13h05 e 13h55. Além disso, os horários de chegada de Rachel e Ross são independentes. A gente precisa encontrar a função densidade de probabilidade conjunta de
e
. Para isso, vamos lembrar o que é uma distribuição uniforme e como calcular a densidade conjunta de duas variáveis independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme. Uma variável aleatória
que é distribuída uniformemente no intervalo
tem uma função densidade de probabilidade (fdp) constante em todo esse intervalo. Ou seja,
Passo 3
Como
e
são independentes, a função densidade de probabilidade conjunta
é o produto das densidades marginais de cada variável. Ou seja,
Passo 4
Vamos agora encontrar as densidades marginais
e
.
Para
, que está uniformemente distribuída entre 13h15 e 13h45, o intervalo tem duração de 30 minutos, então,
Para
, que está uniformemente distribuída entre 13h05 e 13h55, o intervalo tem duração de 50 minutos, então,
Passo 5
Agora, multiplicando as densidades marginais, temos a densidade conjunta:
para 13h15
13h45 e 13h05
13h55.
Resposta
A função densidade de probabilidade conjunta de
e
é
para
e
.