Rachel e Ross marcam um encontro no Central Perk às 13h30. O horário de chegada da Rachel (X1) é uniforme entre 13h15 e 13h45, enquanto o horário de chegada do Ross ( X2 ) é uniforme entre 13 h 05 e 13h55, com X1 e X2 independentes. Calcule a:
(a) Função densidade de probabilidade conjunta de X1 e X2.

Passo 1

Nessa questão, Rachel e Ross combinam de se encontrar no Central Perk às 13h30. A hora que a Rachel chega, chamada de X1, pode variar de forma uniforme entre 13h15 e 13h45. Já a hora que o Ross chega, X2, também é uniforme, mas entre 13h05 e 13h55. Além disso, os horários de chegada de Rachel e Ross são independentes. A gente precisa encontrar a função densidade de probabilidade conjunta de X1 e X2. Para isso, vamos lembrar o que é uma distribuição uniforme e como calcular a densidade conjunta de duas variáveis independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme. Uma variável aleatória X que é distribuída uniformemente no intervalo [a, b] tem uma função densidade de probabilidade (fdp) constante em todo esse intervalo. Ou seja,
fX(x) = 1b - a & se a <= x <= b, 0 & caso contrário á

Passo 3

Como X1 e X2 são independentes, a função densidade de probabilidade conjunta fX1,X2(x1,x2) é o produto das densidades marginais de cada variável. Ou seja,
fX1,X2(x1,x2) = fX1(x1) times fX2(x2)

Passo 4

Vamos agora encontrar as densidades marginais fX1(x1) e fX2(x2).
Para X1, que está uniformemente distribuída entre 13h15 e 13h45, o intervalo tem duração de 30 minutos, então,
fX1(x1) = 130 para 13h15 <= x1 <= 13h45
Para X2, que está uniformemente distribuída entre 13h05 e 13h55, o intervalo tem duração de 50 minutos, então,
fX2(x2) = 150 para 13h05 <= x2 <= 13h55

Passo 5

Agora, multiplicando as densidades marginais, temos a densidade conjunta:
fX1,X2(x1,x2) = 130 times 150 = 11500,
para 13h15 <= x1 <= 13h45 e 13h05 <= x2 <= 13h55.

Resposta

A função densidade de probabilidade conjunta de X1 e X2 é
fX1,X2(x1,x2) = 11500,
para 13h15 <= x1 <= 13h45 e 13h05 <= x2 <= 13h55.

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