Suponham que a variável aleatória contínua bidimensional
tenha sua função densidade de probabilidade (FDP) conjunta dada por:
em que
. Encontre a FDP (identificando-a, caso conhecida):
(a) Marginal de
.
(a) Marginal de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a função densidade de probabilidade (FDP) conjunta de duas variáveis aleatórias contínuas, $ T $ e $ Y $. O conteúdo aqui envolve conceitos de probabilidade conjunta e marginais. Nosso objetivo é encontrar a FDP marginal de $ T $, ou seja, descobrir como $ T $ se comporta sozinha, sem considerar $ Y $. Para isso, vamos precisar integrar a FDP conjunta em relação a $ Y $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma FDP marginal. Quando temos duas variáveis aleatórias $ T $ e $ Y $, a FDP marginal de $ T $ é obtida integrando a FDP conjunta $ f(t, y) $ sobre todos os possíveis valores de $ Y $. Matemáticamente, isso fica:
Aqui, os limites da integral vão de 0 a $ +\infty $ porque a função indicadora $ \mathbb{I}_{(0,+\infty)}(y) $ na FDP conjunta nos diz que $ Y $ só assume valores positivos.
Passo 3
Agora, vamos escrever a FDP conjunta que foi dada:
Para encontrar $ f_T(t) $, precisamos integrar isso em relação a $ y $:
Passo 4
Vamos simplificar essa integral. Observe que a expressão dentro da integral se assemelha à forma da função densidade de uma distribuição gama. A função densidade de uma distribuição gama é dada por:
Comparando com a nossa função dentro da integral, podemos identificar que:
- $ \alpha = \frac{n + 1}{2} $
- $ \beta = \frac{t^{2} + n}{2n} $
Passo 5
Sabendo que a integral de uma função densidade de probabilidade é 1, podemos perceber que a parte da integral referente a $ y $ se integra a 1. Portanto, a integral inteira simplifica para:
Substituindo $ \alpha $ e $ \beta $ pelos valores identificados:
Passo 6
Agora, vamos simplificar essa expressão. Note que $ 2^{(n+1)/2} $ no denominador e $ \left(\frac{t^{2} + n}{2n}\right)^{\frac{n + 1}{2}} $ podem ser combinados:
Passo 7
Reconhecemos que essa forma é semelhante à densidade da distribuição $ t $-Student. De fato, a expressão final corresponde à densidade marginal de $ T $ seguindo uma distribuição $ t $-Student com $ n $ graus de liberdade. A densidade da $ t $-Student é dada por:
Resposta
A FDP marginal de $ T $ é uma distribuição $ t $-Student com $ n $ graus de liberdade: