Na mega-sena existem sessenta dezenas numeradas
, das quais seis serão sorteadas. Sejam
: a menor dezena sorteada; e
: a maior dezena sorteada.
(e) Expresse a FP de
.
(e) Expresse a FP de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Mega-Sena! A gente precisa encontrar a Função de Probabilidade (FP) de $ X $, onde $ X $ é a menor dezena sorteada. Para isso, vamos usar conceitos de combinatória, que ajuda a calcular o número de maneiras de escolher elementos sem se preocupar com a ordem. Vamos precisar calcular combinações e entender como a menor dezena influencia nas escolhas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no total de combinações possíveis na Mega-Sena. A Mega-Sena sorteia 6 números dentre 60 disponíveis. A quantidade de combinações possíveis é dada pela combinação de 60 elementos tomados 6 a 6, que é representada por:
Onde “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 3
Agora, queremos saber quantas dessas combinações têm um valor específico $ x $ como a menor dezena sorteada. Para que $ X = x $, precisamos que:
- O número $ x $ esteja entre as 6 dezenas sorteadas.
- As outras 5 dezenas sorteadas sejam todas maiores que $ x $.
Então, fixamos o menor número como $ x $ e escolhemos as outras 5 dezenas entre os números que são maiores que $ x $. Ou seja, estamos escolhendo 5 números dentre os $ 60 - x $ números que são maiores que $ x $.
Isso significa que o número de combinações favoráveis é:
Passo 4
Agora, para encontrar a Função de Probabilidade $ p_X(x) $, basta dividir o número de combinações favoráveis pelo número total de combinações possíveis. Assim, temos:
Essa fração nos dá a probabilidade de que a menor dezena sorteada seja exatamente $ x $.
Resposta
A função de probabilidade de $ X $ é dada por:
Para $ x = 1, 2, 3, ···, 55 $.