Suponham que a variável aleatória contínua bidimensional (T, Y)^top tenha sua função densidade de probabilidade (FDP) conjunta dada por:
f(t, y)=y^(n-1) / 2raizpi n 2^(n+1) / 2 Gamma(n / 2) exp -(t^2+n2 n) y I(-infty, infty)(t) I(0,+infty)(y)
em que n in1,2, ldots. Encontre a FDP (identificando-a, caso conhecida):
(d) Condicional de Y mid T=t.

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua com duas dimensões, (T, Y)^top, e a função densidade de probabilidade (FDP) conjunta dela é dada pela expressão que você viu. Nosso objetivo aqui é encontrar a FDP condicional de Y dado que T = t, ou seja, Y mid T = t. Para isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição condicional e trabalhar com integrais para obter as densidades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a distribuição condicional. A FDP condicional de Y dado T = t é dada por:
fY mid T(y mid t) = f(t, y)fT(t)
Aqui, f(t, y) é a FDP conjunta que já temos, e fT(t) é a FDP marginal de T, que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos começar encontrando a FDP marginal de T, fT(t). Para isso, precisamos integrar a FDP conjunta em relação a y:
fT(t) = integral0^+infty f(t, y) , dy
Substituindo a expressão de f(t, y):
fT(t) = integral0^+infty y^(n-1)/2raizpi n 2^(n+1)/2 Gamma(n/2) exp-(t^2+n2n) y dy

Passo 4

Observamos que a integral acima tem a forma de uma integral da função densidade de uma distribuição gama. A distribuição gama tem a forma:
f(y) = beta^alphaGamma(alpha) y^alpha - 1 e^-beta y
Comparando com a nossa integral, identificamos que:
  • alpha = n+12
  • beta = t^2 + n2n
Portanto, a integral resulta em:
fT(t) = 1raizpi n 2^(n+1)/2 Gamma(n/2) cdot Gamma(n+12)(t^2 + n2n)^n+12

Passo 5

Agora, substituímos f(t, y) e fT(t) na fórmula da FDP condicional:
fY mid T(y mid t) = y^(n-1)/2raizpi n 2^(n+1)/2 Gamma(n/2) exp-(t^2+n2n) y1raizpi n 2^(n+1)/2 Gamma(n/2) cdot Gamma(n+12)(t^2 + n2n)^n+12
Simplificando, os termos 1raizpi n 2^(n+1)/2 Gamma(n/2) se cancelam:
fY mid T(y mid t) = y^(n-1)/2 exp-(t^2+n2n) yGamma(n+12)(t^2 + n2n)^n+12

Passo 6

Rearranjando os termos, temos:
fY mid T(y mid t) = (t^2 + n2n)^n+12Gamma(n+12) y^n-12 e^-(t^2 + n2n) y
Isso corresponde exatamente à forma da distribuição gama:
f(y) = beta^alphaGamma(alpha) y^alpha - 1 e^-beta y
onde:
  • alpha = n+12
  • beta = t^2 + n2n

Resposta

A FDP condicional de Y dado T = t é uma distribuição gama com parâmetros alpha = n+12 e beta = t^2 + n2n, ou seja:
fY mid T(y mid t) = (t^2 + n2n)^n+12Gamma(n+12) y^n-12 e^-(t^2 + n2n) y, y > 0

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