Suponham que a variável aleatória contínua bidimensional
tenha sua função densidade de probabilidade (FDP) conjunta dada por:
em que
. Encontre a FDP (identificando-a, caso conhecida):
(d) Condicional de
.
(d) Condicional de
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua com duas dimensões,
, e a função densidade de probabilidade (FDP) conjunta dela é dada pela expressão que você viu. Nosso objetivo aqui é encontrar a FDP condicional de
dado que
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição condicional e trabalhar com integrais para obter as densidades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a distribuição condicional. A FDP condicional de
dado
é dada por:
Aqui,
é a FDP conjunta que já temos, e
é a FDP marginal de
, que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos começar encontrando a FDP marginal de
,
. Para isso, precisamos integrar a FDP conjunta em relação a
:
Substituindo a expressão de
:
Passo 4
Observamos que a integral acima tem a forma de uma integral da função densidade de uma distribuição gama. A distribuição gama tem a forma:
Comparando com a nossa integral, identificamos que:
Portanto, a integral resulta em:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula da FDP condicional:
Simplificando, os termos
se cancelam:
Passo 6
Rearranjando os termos, temos:
Isso corresponde exatamente à forma da distribuição gama:
onde:
Resposta
A FDP condicional de
dado
é uma distribuição gama com parâmetros
e
, ou seja: