Um cachorro atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As coordenadas da posição do cachorro, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por:
x=-0,31 t^2+7,2 t+28 e y=0,22 t^2-9,1 t+30
No instante t=15 s, qual é o (a) vetor posição, (b) o vetor velocidade e © o vetor aceleração do cachorro na notação dos vetores unitários?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cachorro se movendo em um estacionamento com eixos coordenados. As posições e do cachorro em função do tempo são dadas por duas equações quadráticas. Nosso objetivo é, no instante de segundos:
a) Encontrar o vetor posição.
b) Encontrar o vetor velocidade.
c) Encontrar o vetor aceleração.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para achar a velocidade e a aceleração a partir das funções de posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição no instante x(t) = -0,31 t^2 + 7,2 t + 28 segundos. O vetor posição é simplesmente as coordenadas y(t) = 0,22 t^2 - 9,1 t + 30 e x(15) = -0,31 times (15)^2 + 7,2 times 15 + 28 do cachorro nesse instante.
As funções são:
x(15) = -0,31 times 225 + 108 + 28
x(15) = -69,75 + 108 + 28 = 66,25 , metros
Vamos substituir y(15) = 0,22 times (15)^2 - 9,1 times 15 + 30 nas duas equações:
Para y(15) = 0,22 times 225 - 136,5 + 30 :
y(15) = 49,5 - 136,5 + 30 = -57 , metros
Para :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor velocidade no instante vx(t) = dxdt = ddt (-0,31 t^2 + 7,2 t + 28) = -0,62 t + 7,2 segundos. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, precisamos derivar vy(t) = dydt = ddt (0,22 t^2 - 9,1 t + 30) = 0,44 t - 9,1 e vx(15) = -0,62 times 15 + 7,2 = -9,3 + 7,2 = -2,1 , m/s em relação a vy(15) = 0,44 times 15 - 9,1 = 6,6 - 9,1 = -2,5 , m/s .
Derivadas das funções:
Para :
Para :
Agora, substituímos :
Para :
Para :

Passo 4

Por fim, vamos encontrar o vetor aceleração no instante ax(t) = dvxdt = ddt (-0,62 t + 7,2) = -0,62 , m/s^2 segundos. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Derivadas das funções de velocidade:
Para ay(t) = dvydt = ddt (0,44 t - 9,1) = 0,44 , m/s^2 :
Para :
Note que, como as funções de posição são polinomiais de segundo grau, a aceleração é constante.

Resposta

No instante r = 66,25,i - 57,j , metros segundos:
a) Vetor posição:
v = -2,1,i - 2,5,j , m/s
b) Vetor velocidade:
a = -0,62,i + 0,44,j , m/s^2
c) Vetor aceleração:

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