Um cachorro atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As coordenadas da posição do cachorro, em metros, em função do tempo
, em segundos, são dadas por:
No instante
, qual é o (a) vetor posição, (b) o vetor velocidade e © o vetor aceleração do cachorro na notação dos vetores unitários?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cachorro se movendo em um estacionamento com eixos coordenados. As posições
e
do cachorro em função do tempo
são dadas por duas equações quadráticas. Nosso objetivo é, no instante de
segundos:
a) Encontrar o vetor posição.
b) Encontrar o vetor velocidade.
c) Encontrar o vetor aceleração.
b) Encontrar o vetor velocidade.
c) Encontrar o vetor aceleração.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para achar a velocidade e a aceleração a partir das funções de posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição no instante
segundos. O vetor posição é simplesmente as coordenadas
e
do cachorro nesse instante.
As funções são:
Vamos substituir
nas duas equações:
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor velocidade no instante
segundos. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, precisamos derivar
e
em relação a
.
Derivadas das funções:
Para
:
Para
:
Agora, substituímos
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar o vetor aceleração no instante
segundos. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Derivadas das funções de velocidade:
Para
:
Para
:
Note que, como as funções de posição são polinomiais de segundo grau, a aceleração é constante.
Resposta
No instante
segundos:
a) Vetor posição:
b) Vetor velocidade:
c) Vetor aceleração: