Exemplo: A posição de uma bola arremessada é dada por . A partir dessa posição, encontre os valores da velocidade e da aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma bola que foi arremessada, dada pela fórmula:
Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a aceleração dessa bola. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento sem considerar as causas. Precisamos derivar a posição em relação ao tempo para achar a velocidade, e depois derivar a velocidade para achar a aceleração. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a expressão da posição para facilitar a derivação. A posição é uma função do tempo e está dividida nas direções (x) e (y):
Aqui, cada termo representa a posição em uma direção específica.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente separadamente.

Passo 4

Derivando a componente :
Derivando a componente :

Passo 5

Juntando todas as derivadas, a velocidade fica:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente da velocidade.

Passo 7

Derivando a componente :
Derivando a componente :

Passo 8

Juntando todas as derivadas, a aceleração fica:
Simplificando:

Resposta

A velocidade da bola em função do tempo é:
E a aceleração da bola é constante:

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No instante , qual é o (a) vetor posição, (b) o vetor velocidade e © o vetor aceleração do cachorro na notação dos vetores unitários?