Exemplo: A posição de uma bola arremessada é dada por De +16 m / s jmath) t-4,9 m / s^2 jmath t^2. A partir dessa posição, encontre os valores da velocidade e da aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma bola que foi arremessada, dada pela fórmula:
De
Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a aceleração dessa bola. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento sem considerar as causas. Precisamos derivar a posição em relação ao tempo para achar a velocidade, e depois derivar a velocidade para achar a aceleração. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a expressão da posição para facilitar a derivação. A posição é uma função do tempo De e está dividida nas direções (x) e (y):
Aqui, cada termo representa a posição em uma direção específica.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dDe
Vamos derivar cada componente separadamente.

Passo 4

Derivando a componente ddt(1,5, imath) = 0 :
ddt(12, imath, t) = 12, imath
ddt(16, jmath, t) = 16, jmath
Derivando a componente ddt(-4,9, jmath, t^2) = -9,8, jmath, t :

Passo 5

Juntando todas as derivadas, a velocidade fica:
v(t) = 0 + 12, imath + 16, jmath - 9,8, jmath, t
Simplificando:
v(t) = 12, imath + (16 - 9,8, t), jmath

Passo 6

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt
Vamos derivar cada componente da velocidade.

Passo 7

Derivando a componente ddt(12, imath) = 0 :
ddt(16, jmath) = 0
Derivando a componente ddt(-9,8, jmath, t) = -9,8, jmath :

Passo 8

Juntando todas as derivadas, a aceleração fica:
a(t) = 0 + 0 - 9,8, jmath
Simplificando:
a(t) = -9,8, jmath, m/s^2

Resposta

A velocidade da bola em função do tempo é:
v(t) = 12, imath + (16 - 9,8, t), jmath, m/s
E a aceleração da bola é constante:
a(t) = -9,8, jmath, m/s^2

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