Exemplo: A posição de uma bola arremessada é dada por . A partir dessa posição, encontre os valores da velocidade e da aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma bola que foi arremessada, dada pela fórmula:
Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a aceleração dessa bola. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento sem considerar as causas. Precisamos derivar a posição em relação ao tempo para achar a velocidade, e depois derivar a velocidade para achar a aceleração. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a expressão da posição para facilitar a derivação. A posição é uma função do tempo e está dividida nas direções (x) e (y):
Aqui, cada termo representa a posição em uma direção específica.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente separadamente.
Passo 4
Derivando a componente :
Derivando a componente :
Passo 5
Juntando todas as derivadas, a velocidade fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: