Para cada uma das afirmações abaixo, escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique, com detalhes, as suas respostas.
(b) Existe uma função
tal que
(b) Existe uma função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se existe uma função
tal que o gradiente dessa função,
, seja igual a um campo vetorial
para todo ponto
no espaço tridimensional. Isso envolve assuntos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma função
cujo gradiente é igual a
. Uma função
assim é chamada de função potencial, e o campo vetorial
é dito ser conservativo. Em termos simples, um campo conservativo é aquele em que o movimento de um ponto de um lugar para outro não depende do caminho percorrido, apenas das posições inicial e final.
Passo 3
Para que tal função
exista, o campo vetorial
precisa satisfazer uma condição importante: o rotacional de
deve ser zero. O rotacional, denotado por
, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Se o rotacional for zero em toda a região considerada, isso indica que o campo não tem rotação local e, portanto, é potencial.
Passo 4
Então, o que precisamos fazer é calcular o rotacional de
e verificar se ele é zero em todo
. Se
, então existe uma função
tal que
. Caso contrário, não existe tal função potencial.
Resposta
Sim, existe uma função
tal que
para todo
em
, desde que o rotacional de
seja zero em todo o espaço tridimensional. Ou seja, se
, então uma função potencial
existe.
Exercícios relacionados
Determinar a derivada das seguintes funções:
c)
c)
( 3,5 pontos). Calcule a integral tripla abaixo, simplificando o máximo possível a
sua resposta:
sua resposta:
(4 pontos). Supondo que a densidade de massa em cada ponto do sólido
seja descrita pela função
calcule a massa total de
.