Para cada uma das afirmações abaixo, escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique, com detalhes, as suas respostas.
(b) Existe uma função tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se existe uma função tal que o gradiente dessa função, , seja igual a um campo vetorial para todo ponto no espaço tridimensional. Isso envolve assuntos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma função cujo gradiente é igual a . Uma função assim é chamada de função potencial, e o campo vetorial é dito ser conservativo. Em termos simples, um campo conservativo é aquele em que o movimento de um ponto de um lugar para outro não depende do caminho percorrido, apenas das posições inicial e final.

Passo 3

Para que tal função exista, o campo vetorial precisa satisfazer uma condição importante: o rotacional de deve ser zero. O rotacional, denotado por , mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Se o rotacional for zero em toda a região considerada, isso indica que o campo não tem rotação local e, portanto, é potencial.

Passo 4

Então, o que precisamos fazer é calcular o rotacional de e verificar se ele é zero em todo . Se , então existe uma função tal que . Caso contrário, não existe tal função potencial.

Resposta

Sim, existe uma função tal que para todo em , desde que o rotacional de seja zero em todo o espaço tridimensional. Ou seja, se , então uma função potencial existe.

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Determinar a derivada das seguintes funções:
c)
( 3,5 pontos). Calcule a integral tripla abaixo, simplificando o máximo possível a
sua resposta:
(4 pontos). Supondo que a densidade de massa em cada ponto do sólido seja descrita pela função
calcule a massa total de .