(4 pontos). Supondo que a densidade de massa em cada ponto do sólido seja descrita pela função
calcule a massa total de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a densidade de massa em cada ponto do sólido é dada pela função
O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais múltiplas para encontrar a massa total de um sólido. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral tripla da função densidade sobre o volume do sólido .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a massa total de um sólido é dada pela integral da densidade sobre todo o volume:
Isso quer dizer que precisamos integrar sobre o volume de .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, já que a função e o sólido parecem ter simetria radial (assumindo que seja uma esfera ou algo similar). Nas coordenadas esféricas, as variáveis são (raio), (ângulo polar) e (ângulo azimutal), e a função densidade fica:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas esféricas. Supondo que seja uma esfera de raio , os limites de integração serão:
Então, a massa fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a expressão para fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a :
Agora, fica:

Resposta

A massa total do sólido é

Exercícios relacionados

( 3,5 pontos). Calcule a integral tripla abaixo, simplificando o máximo possível a
sua resposta:
Para cada uma das afirmações abaixo, escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique, com detalhes, as suas respostas.
(b) Existe uma função tal que
Para cada uma das afirmações abaixo, escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique, com detalhes, as suas respostas.
(a) Existe um campo vetorial tal que
(1 ponto). Considere a mudança de variáveis
Esboce a região e também a região . Exiba os cálculos para determinar a região .