(4 pontos). Supondo que a densidade de massa em cada ponto do sólido
seja descrita pela função
calcule a massa total de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a densidade de massa em cada ponto do sólido
é dada pela função
O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais múltiplas para encontrar a massa total de um sólido. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral tripla da função densidade sobre o volume do sólido
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a massa total
de um sólido
é dada pela integral da densidade
sobre todo o volume:
Isso quer dizer que precisamos integrar
sobre o volume de
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, já que a função
e o sólido
parecem ter simetria radial (assumindo que
seja uma esfera ou algo similar). Nas coordenadas esféricas, as variáveis são
(raio),
(ângulo polar) e
(ângulo azimutal), e a função densidade fica:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas esféricas. Supondo que
seja uma esfera de raio
, os limites de integração serão:
Então, a massa
fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a expressão para
fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
:
Agora,
fica:
Resposta
A massa total do sólido
é
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( 3,5 pontos). Calcule a integral tripla abaixo, simplificando o máximo possível a
sua resposta:
sua resposta:
Para cada uma das afirmações abaixo, escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique, com detalhes, as suas respostas.
(b) Existe uma função tal que
(b) Existe uma função
Para cada uma das afirmações abaixo, escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique, com detalhes, as suas respostas.
(a) Existe um campo vetorial tal que
(a) Existe um campo vetorial
(1 ponto). Considere a mudança de variáveis
Esboce a região
e também a região
. Exiba os cálculos para determinar a região
.