Para cada uma das afirmações a seguir, determine se é Verdadeira ou Falsa. Justifique detalhadamente sua resposta.
(d) (1 ponto) Se A e B são matrizes n times n com det(A)=2 e det(B)=3, então det(A+B)=5 v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para determinarmos se a afirmação é verdadeira ou falsa. Estamos falando de matrizes quadradas de ordem com determinantes conhecidos. O conteúdo principal aqui é determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como o determinante se comporta quando somamos duas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes. Ou seja,
det(AB) = det(A) times det(B)
No entanto, essa propriedade não se aplica à soma de matrizes. Não existe uma regra geral que diz que o determinante da soma de duas matrizes é igual à soma de seus determinantes. Portanto, a afirmação de que:
det(A + B) = det(A) + det(B)
pode não ser verdadeira.

Passo 3

Para ilustrar isso, vamos usar um exemplo simples com matrizes 2x2. Vamos definir:
A = 1 & 0 0 & 2 , B = 2 & 0 0 & 1
Calculando os determinantes:
det(A) = (1)(2) - (0)(0) = 2
det(B) = (2)(1) - (0)(0) = 2
Agora, somamos as matrizes A + B = 1+2 & 0+0 0+0 & 2+1 = 3 & 0 0 & 3 e det(A + B) = (3)(3) - (0)(0) = 9 :
det(A) + det(B) = 2 + 2 = 4
Calculando o determinante de det(A + B) = 9 neq 4 = det(A) + det(B) :
Agora, somamos os determinantes de e :
Vemos que:

Resposta

Falsa. O determinante da soma de duas matrizes não é igual à soma dos seus determinantes.

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