Para cada uma das afirmações a seguir, determine se é Verdadeira ou Falsa. Justifique detalhadamente sua resposta.
(a) (1 ponto) A matriz A=[ai j] de ordem n times n, onde os elementos são definidos por ai j= (i-j)^2, é simétrica. (F)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma matriz de ordem , onde cada elemento é definido por . A afirmação é que essa matriz é simétrica. Para verificar se uma matriz é simétrica, precisamos entender o que isso significa na teoria das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que para todos os índices e , o elemento deve ser igual a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à matriz dada. Temos aji = (j - i)^2 . Vamos calcular aji = (i - j)^2 = aij :
Mas observe que , já que o quadrado elimina o sinal negativo. Portanto:

Passo 4

Como vimos, para todos os e , . Isso satisfaz a condição de simetria da matriz , ou seja, .

Resposta

A afirmação é Verdadeira. A matriz definida por é simétrica porque para todos os e .

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