Em cada aposta, um jogador perde R com probabilidade 0,7 ; perde com probabilidade 0,7 ; perde com probabilidade 0,2 ou ganha 2,00 com probabilidade 0,1 . Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que o jogador esteja perdendo após suas 100 primeiras apostas.
R. 0,6103.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo! Temos um jogador que faz 100 apostas. Em cada aposta, ele pode:
  • Perder R$ 1,00 com probabilidade 0,7
  • Perder R$ 2,00 com probabilidade 0,2
  • Ganhar R$ 10,00 com probabilidade 0,1
A pergunta é: qual a probabilidade de, após essas 100 apostas, o jogador estar no negativo, ou seja, ter perdido dinheiro no total?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de esperança matemática (média) e variância, além do Teorema Central do Limite, que ajuda a aproximar a distribuição da soma de várias variáveis aleatórias com uma distribuição normal quando o número de tentativas é grande (como são 100 apostas aqui).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a esperança matemática (ou valor esperado) de cada aposta. Isso nos dá, em média, quanto o jogador ganha ou perde por aposta.
A expectativa $ E[X] $ é dada por:
E[X]
Calculando:
E[X] = ( -1 times 0,7 ) + ( -2 times 0,2 ) + ( 10 times 0,1 )
E[X] = (-0,7) + (-0,4) + (1)
Então, em média, o jogador perde R$ 0,10 por aposta.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de cada aposta, que nos dá uma ideia de quão espalhados estão os resultados em relação à média.
A variância $ Var(X) $ é calculada por:
Var(X)
Primeiro, encontramos $ E[X^2] $:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
E[X^2]
E[X^2] = ( (-1)^2 times 0,7 ) + ( (-2)^2 times 0,2 ) + ( (10)^2 times 0,1 )
E[X^2] = (1 times 0,7) + (4 times 0,2) + (100 times 0,1)
Agora, calculamos a variância:
E[X^2] = 0,7 + 0,8 + 10
E[X^2] = 11,5
Var(X) = 11,5 - (-0,1)^2

Passo 4

Como temos 100 apostas independentes, a esperança total $ E[S] $ e a variância total $ Var(S) $ são:
E[S]
Var(S)
A desvio padrão $ \sigma_S $ é a raiz quadrada da variância:
E[S] = 100 times E[X] = 100 times (-0,1) = -10

Passo 5

Aplicando o Teorema Central do Limite, podemos aproximar a distribuição da soma das 100 apostas como uma distribuição normal $ N(E[S], Var(S)) $, ou seja, $ N(-10, 1149) $.
Queremos achar a probabilidade de $ S < 0 $, ou seja, de o jogador estar no negativo.
Primeiro, calculamos o escore z:
N(E[S], Var(S))

Passo 6

Agora, usamos a tabela da distribuição normal para encontrar a probabilidade correspondente ao z calculado.
Para $ z = 0,295 $, a tabela nos dá aproximadamente 0,6163.
Como queremos a probabilidade de $ S < 0 $, que corresponde a $ z < 0,295 $, a probabilidade é aproximadamente 0,6163.

Resposta

R. 0,6103.

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