Em cada aposta, um jogador perde
com probabilidade 0,7 ; perde
com probabilidade 0,2 ou ganha
com probabilidade 0,1 . Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que o jogador esteja perdendo após suas 100 primeiras apostas.
R. 0,6103.
R. 0,6103.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo! Temos um jogador que faz 100 apostas. Em cada aposta, ele pode:
- Perder R$ 1,00 com probabilidade 0,7
- Perder R$ 2,00 com probabilidade 0,2
- Ganhar R$ 10,00 com probabilidade 0,1
A pergunta é: qual a probabilidade de, após essas 100 apostas, o jogador estar no negativo, ou seja, ter perdido dinheiro no total?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de esperança matemática (média) e variância, além do Teorema Central do Limite, que ajuda a aproximar a distribuição da soma de várias variáveis aleatórias com uma distribuição normal quando o número de tentativas é grande (como são 100 apostas aqui).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a esperança matemática (ou valor esperado) de cada aposta. Isso nos dá, em média, quanto o jogador ganha ou perde por aposta.
A expectativa $ E[X] $ é dada por:
Calculando:
Então, em média, o jogador perde R$ 0,10 por aposta.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância de cada aposta, que nos dá uma ideia de quão espalhados estão os resultados em relação à média.
A variância $ Var(X) $ é calculada por:
Primeiro, encontramos $ E[X^2] $:
Agora, calculamos a variância:
Passo 4
Como temos 100 apostas independentes, a esperança total $ E[S] $ e a variância total $ Var(S) $ são:
A desvio padrão $ \sigma_S $ é a raiz quadrada da variância:
Passo 5
Aplicando o Teorema Central do Limite, podemos aproximar a distribuição da soma das 100 apostas como uma distribuição normal $ N(E[S], Var(S)) $, ou seja, $ N(-10, 1149) $.
Queremos achar a probabilidade de $ S < 0 $, ou seja, de o jogador estar no negativo.
Primeiro, calculamos o escore z:
Passo 6
Agora, usamos a tabela da distribuição normal para encontrar a probabilidade correspondente ao z calculado.
Para $ z = 0,295 $, a tabela nos dá aproximadamente 0,6163.
Como queremos a probabilidade de $ S < 0 $, que corresponde a $ z < 0,295 $, a probabilidade é aproximadamente 0,6163.
Resposta
R. 0,6103.