Se lança uma moeda 100 vezes. O jogador recebe
se o número de caras é 57 ou mais, e perde
se o número de caras é 47 ou menos, em outros casos não recebe nem perde nada. Determinar a média de ganhos do jogador neste jogo.
R.
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R.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma moeda sendo lançada 100 vezes. O jogador ganha R$0,10 se sair 57 ou mais caras, perde R$0,50 se sair 47 ou menos caras, e não ganha nem perde nada se o número de caras estiver entre 48 e 56. Nosso objetivo aqui é calcular a média de ganhos desse jogador nesse jogo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade e valor esperado.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o número de caras em 100 lançamentos de moeda segue uma distribuição binomial. Uma distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 100 lançamentos), cada uma com dois resultados possíveis (cara ou coroa), e a probabilidade de sucesso (cara) é constante em cada tentativa.
A probabilidade de obter exatamente $ k $ caras em 100 lançamentos é dada pela fórmula:
Onde $ \binom{100}{k} $ é o coeficiente binomial que calcula as combinações possíveis de $ k $ caras em 100 lançamentos.
Passo 3
Agora, vamos calcular as probabilidades das diferentes situações:
- Ganhar R$0,10: quando o número de caras $ k $ é 57 ou mais.
- Perder R$0,50: quando o número de caras $ k $ é 47 ou menos.
- Ninguém ganha nem perde: quando $ k $ está entre 48 e 56.
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos usar aproximadamente a distribuição normal para a distribuição binomial, já que o número de tentativas é grande.
A média ($ \mu
\sigma $) da distribuição binomial são:
Passo 5
Agora, vamos transformar os valores de $ k $ em escores Z para usar a tabela da distribuição normal:
Onde $ X $ é o número de caras.
- Para $ k = 57 $:
- Para $ k = 47 $:
Passo 6
Usando a tabela da distribuição normal:
- A probabilidade de $ k \geq 57 $ ($ Z \geq 1.4 $) é aproximadamente 0,0808.
- A probabilidade de $ k \leq 47 $ ($ Z \leq -0.6 $) é aproximadamente 0,2743.
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor esperado (média) dos ganhos do jogador:
Substituindo os valores:
Os outros termos são multiplicados por zero, então podemos ignorá-los.
Passo 8
Portanto, a média de ganhos do jogador nesse jogo é aproximadamente -0,12907 reais por jogo. Isso significa que, em média, o jogador perde R$0,12907 a cada vez que joga.
Resposta
A média de ganhos do jogador neste jogo é de aproximadamente -0,12907 reais.