Se lança uma moeda 100 vezes. O jogador recebe se o número de caras é 57 ou mais, e perde se o número de caras é 57 ou mais, e perde se o número de caras é 47 ou menos, em outros casos não recebe nem perde nada. Determinar a média de ganhos do jogador neste jogo.
R. 5.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma moeda sendo lançada 100 vezes. O jogador ganha R$0,10 se sair 57 ou mais caras, perde R$0,50 se sair 47 ou menos caras, e não ganha nem perde nada se o número de caras estiver entre 48 e 56. Nosso objetivo aqui é calcular a média de ganhos desse jogador nesse jogo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade e valor esperado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o número de caras em 100 lançamentos de moeda segue uma distribuição binomial. Uma distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 100 lançamentos), cada uma com dois resultados possíveis (cara ou coroa), e a probabilidade de sucesso (cara) é constante em cada tentativa.
A probabilidade de obter exatamente $ k $ caras em 100 lançamentos é dada pela fórmula:
k
Onde $ \binom{100}{k} $ é o coeficiente binomial que calcula as combinações possíveis de $ k $ caras em 100 lançamentos.

Passo 3

Agora, vamos calcular as probabilidades das diferentes situações:
  1. Ganhar R$0,10: quando o número de caras $ k $ é 57 ou mais.
  2. Perder R$0,50: quando o número de caras $ k $ é 47 ou menos.
  3. Ninguém ganha nem perde: quando $ k $ está entre 48 e 56.
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente.

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos usar aproximadamente a distribuição normal para a distribuição binomial, já que o número de tentativas é grande.
A média ($ \mu mu ã \sigma $) da distribuição binomial são:
sigma
mu = n times p = 100 times 0.5 = 50

Passo 5

Agora, vamos transformar os valores de $ k $ em escores Z para usar a tabela da distribuição normal:
k
Onde $ X $ é o número de caras.
  • Para $ k = 57 $:
Z = X - musigma
  • Para $ k = 47 $:
X

Passo 6

Usando a tabela da distribuição normal:
  • A probabilidade de $ k \geq 57 $ ($ Z \geq 1.4 $) é aproximadamente 0,0808.
  • A probabilidade de $ k \leq 47 $ ($ Z \leq -0.6 $) é aproximadamente 0,2743.

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor esperado (média) dos ganhos do jogador:
Valor Esperado = (Probabilidade de ganhar) times (Ganho) + (Probabilidade de perder) times (Perda) + (Probabilidade de não ganhar nem perder) times 0 ã
Substituindo os valores:
Valor Esperado = (0.0808 times 0.10) + (0.2743 times (-0.50)) + Outros termos
Os outros termos são multiplicados por zero, então podemos ignorá-los.
Valor Esperado = 0.00808 - 0.13715 = -0.12907

Passo 8

Portanto, a média de ganhos do jogador nesse jogo é aproximadamente -0,12907 reais por jogo. Isso significa que, em média, o jogador perde R$0,12907 a cada vez que joga.

Resposta

A média de ganhos do jogador neste jogo é de aproximadamente -0,12907 reais.

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