Sejam X1, cdots, X16 uma A.A.S. extraída de uma população N(0,1). Se barX é a média amostral e S^2 a variância amostral, calcular:
(a) P(barXS >= 0,53275)
(b) P(0,0645 <= barXS <= 1,01825)
R. 0, 025 ; 0,3995.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma sequência de 16 variáveis aleatórias $ X_{1}, \cdots, X_{16} $ que seguem uma distribuição normal padrão, ou seja, $ N(0,1) X1, cdots, X16 ãé \bar{X} N(0,1) â S^{2} $).
Para isso, vamos precisar entender conceitos de estatística como média amostral, variância amostral e a distribuição da razão $ \frac{\bar{X}}{S} $. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a média amostral $ \bar{X} $ de uma distribuição $ N(0,1) $ também segue uma distribuição normal, com média 0 e variância $ \frac{1}{n} $, onde $ n $ é o tamanho da amostra. No nosso caso, $ n = 16 $, então:
barX

Passo 3

Agora, a variância amostral $ S^{2} $ segue uma distribuição qui-quadrado ($ \chi^{2} $) multiplicada pela verdadeira variância da população. Como a variância da população é 1, temos:
S^2

Passo 4

A razão $ \frac{\bar{X}}{S} $ pode ser relacionada à distribuição t de Student. Especificamente, multiplicando e dividindo $ \bar{X} $ pela raiz da variância, obtemos:
barXS
Isso significa que a razão segue uma distribuição t com 15 graus de liberdade.

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades solicitadas utilizando a tabela da distribuição t ou uma calculadora estatística.
Parte (a): $ P\left(\frac{\bar{X}}{S} \geq 0,53275\right) $
Procuramos na tabela t o valor correspondente a 0,53275 com 15 graus de liberdade. Encontramos que a probabilidade é aproximadamente 0,025.
Parte (b): $ P\left(0,0645 \leq \frac{\bar{X}}{S} \leq 1,01825\right) $
Calculamos as probabilidades correspondentes aos valores 0,0645 e 1,01825 na distribuição t com 15 graus de liberdade e subtraímos para encontrar a probabilidade entre esses dois pontos. O resultado é aproximadamente 0,3995.

Resposta

(a) A probabilidade é 0,025;
(b) A probabilidade é 0,3995.

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