Em cada caso, achar os pontos onde a tangente ao gráfico da função f é paralela à reta dada: f(x) = x^3 + 2, y = 12x - 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os pontos onde a tangente ao gráfico da função é paralela à reta . Isso envolve conceitos de derivadas e inclinação de retas. Vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da tangente e igualar à inclinação da reta dada para achar os pontos desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Então, vamos calcular a derivada de .
A função é:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta dada . A inclinação dessa reta é o coeficiente de , que é 12.
Portanto, a inclinação da reta é:

Passo 4

Queremos que a tangente ao gráfico de seja paralela à reta dada. Duas retas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. Então, igualamos a derivada de à inclinação da reta:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar os valores de :
Dividindo ambos os lados por 3:
Tirando a raiz quadrada:

Passo 6

Com os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando a função original :
Para :
Para :

Resposta

Os pontos onde a tangente ao gráfico de é paralela à reta são:
e .

Exercícios relacionados