Em cada caso, determine o domínio máximo D ⊆ R da função f: D -> R dada por: f(x) = raiz(1 - ||5 x - 3| - 4 x + 1|)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o domínio máximo da função . Isso significa que precisamos encontrar todos os valores de para os quais a expressão dentro da raiz quarta seja não negativa. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as raízes e os valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a raiz quarta de um número real só existe se esse número for maior ou igual a zero. Ou seja, temos que:
Isso implica que:
Agora, precisamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto. Primeiro, observamos que:
O valor absoluto de depende do sinal de . Então, vamos considerar dois casos:
Caso 1:
Caso 2:

Passo 4

Caso 1:
Aqui, . Substituindo na expressão original:
Então, a desigualdade se torna:
Resolvendo:
Mas lembrando que neste caso , então a solução para este caso é .

Passo 5

Caso 2:
Aqui, . Substituindo na expressão original:
Então, a desigualdade se torna:
Podemos reescrever isso como:
Resolvendo as duas desigualdades:
Então, a solução para este caso é .

Passo 6

Agora, juntando as soluções dos dois casos:
  • Caso 1:
  • Caso 2:
Portanto, o domínio máximo da função é a união desses intervalos:

Resposta

O domínio máximo da função é .

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