A intersecção dos conjuntos
e
é um intervalo. Qual é o seu comprimento?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem dois conjuntos de números reais definidos pelas desigualdades
e
. A pergunta é: qual é o comprimento da intersecção desses dois conjuntos? Pra resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com desigualdades de valor absoluto e encontrar onde esses dois intervalos se sobrepõem.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver cada uma das desigualdades para descobrir quais intervalos elas representam.
Desigualdade 1:
Esse valor absoluto quer dizer que a distância de
até 2 é menor que 4. Então, podemos escrever isso sem o valor absoluto assim:
Agora, somamos 2 em todas as partes da desigualdade para isolar o
:
Então, o primeiro conjunto é o intervalo aberto de -2 a 6, ou seja,
.
Desigualdade 2:
Da mesma forma, essa desigualdade quer dizer que a distância de
até 7 é menor que 2. Removendo o valor absoluto:
Somando 7 em todas as partes:
Então, o segundo conjunto é o intervalo aberto de 5 a 9, ou seja,
.
Passo 3
Agora que temos os dois intervalos, vamos encontrar a intersecção deles, que é onde eles se sobrepõem.
- Primeiro intervalo:
- Segundo intervalo:
A intersecção desses intervalos é o conjunto de números que estão em ambos os intervalos. Visualizando, vemos que de 5 a 6 é onde eles se sobrepõem.
Então, a intersecção é o intervalo
.
Resposta
O comprimento do intervalo de intersecção é 1.