A intersecção dos conjuntos {x in R : |x - 2| < 4} e {x in R : |x - 7| < 2} é um intervalo. Qual é o seu comprimento?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem dois conjuntos de números reais definidos pelas desigualdades e . A pergunta é: qual é o comprimento da intersecção desses dois conjuntos? Pra resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com desigualdades de valor absoluto e encontrar onde esses dois intervalos se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver cada uma das desigualdades para descobrir quais intervalos elas representam.
Desigualdade 1:
Esse valor absoluto quer dizer que a distância de até 2 é menor que 4. Então, podemos escrever isso sem o valor absoluto assim:
Agora, somamos 2 em todas as partes da desigualdade para isolar o :
Então, o primeiro conjunto é o intervalo aberto de -2 a 6, ou seja, .
Desigualdade 2:
Da mesma forma, essa desigualdade quer dizer que a distância de até 7 é menor que 2. Removendo o valor absoluto:
Somando 7 em todas as partes:
Então, o segundo conjunto é o intervalo aberto de 5 a 9, ou seja, .

Passo 3

Agora que temos os dois intervalos, vamos encontrar a intersecção deles, que é onde eles se sobrepõem.
  • Primeiro intervalo:
  • Segundo intervalo:
A intersecção desses intervalos é o conjunto de números que estão em ambos os intervalos. Visualizando, vemos que de 5 a 6 é onde eles se sobrepõem.
Então, a intersecção é o intervalo .

Resposta

O comprimento do intervalo de intersecção é 1.

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