Em cada caso, determine (se houver)
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar, se existirem, o máximo (
), mínimo (
), supremo (
) e ínfimo (
) do conjunto
. Estamos trabalhando com análise real, especificamente analisando propriedades de conjuntos de números reais. Para resolver, vamos precisar entender o que significam máximo, mínimo, supremo e ínfimo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições:
- Máximo (
): O maior elemento do conjunto. - Mínimo (
): O menor elemento do conjunto. - Supremo (
): O menor limite superior, ou seja, o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. - Ínfimo (
): O maior limite inferior, ou seja, o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto representa todos os números reais maiores que 0, mas sem incluir o 0 e sem limite superior.
- Máximo (
): Para existir um máximo, deve haver um maior elemento no conjunto. Como se estende até o infinito ( ) e não possui um limite superior, não existe um elemento máximo. Logo, não existe.
Passo 4
- Mínimo (
): Para existir um mínimo, deve haver um menor elemento no conjunto. O conjunto começa logo acima de 0, mas não inclui o 0. Isso significa que, para qualquer número positivo pequeno que você escolher em , sempre existe um número ainda menor, mas ainda positivo. Portanto, não há um elemento mínimo no conjunto , ou seja, não existe.
Passo 5
- Supremo (
): O supremo é o menor limite superior do conjunto. Como se estende até , não há um número real que seja um limite superior para todos os elementos de . Portanto, o supremo de é , ou seja, .
Passo 6
- Ínfimo (
): O ínfimo é o maior limite inferior do conjunto. Como todos os elementos de são maiores que 0 e não inclui o 0, o maior limite inferior é 0. Mesmo que 0 não esteja no conjunto, ele é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de . Assim, .