Em cada caso determine indicando o domínio de cada uma destas funções.
(a)
.
(b) ,
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e para cada par de funções dadas, além de indicar o domínio de cada uma dessas operações. Para isso, vamos usar conceitos de funções e domínios, que são partes básicas da matemática.

Passo 2

Vamos começar com o item (a):

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar . Isso significa somar as duas funções:
Para somar frações, precisamos de um denominador comum. Observando os denominadores e , percebemos que é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada:
Então, o denominador comum será . Vamos reescrever cada fração com esse denominador:
Agora, podemos somar as duas funções:

Passo 4

Agora, vamos determinar . Isso significa dividir por :
Dividir frações é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Então:
Lembrando que , temos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o domínio de e .
Domínio de :
  • exige que .
  • O denominador .
Então, domínio de : e .
Domínio de :
  • O denominador e .
Então, domínio de : e .
Domínio de :
É a interseção dos domínios de e :
Como , não precisamos nos preocupar com . Portanto:
Domínio de : , .
Domínio de :
Precisamos que e que e estejam definidos.
Além das restrições de :
  • O denominador de , que é , não pode ser zero, mas já consideramos isso ao determinar os domínios de e .
Então, domínio de : , .

Passo 6

Agora, vamos para o item (b):

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar :
Vamos expandir :
Então:

Passo 8

Agora, vamos determinar :
Novamente, expandindo :
E fatorando o denominador:
Então:
Podemos fatorar o numerador:
Então:
Observe que , então:

Passo 9

Agora, vamos encontrar o domínio de e .
Domínio de :
A função é um polinômio e está definida para todos os .
Domínio de :
A função está definida para todos os exceto onde o denominador é zero, mas aqui não há denominador, então está definida para todos os .
Domínio de :
Como ambas as funções estão definidas para todos os , o domínio de também é .
Domínio de :
Precisamos que :
Então, domínio de : , .

Resposta

Item (a):
Domínios:
  • : ,
  • : ,
Item (b):
Domínios:
  • :
  • : ,

Exercícios relacionados

Determine as composições e , para cada uma das funções a seguir, indicando em cada caso o domínio correspondente:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
[Lembre que o Dominio de ]
Mostre que se é uma função bijetóra então sua função inversa é única.
Determine se as seguintes funções são injetóras:
(a)
(b)
© .
Mostre que e são inversas uma da outra:
(a) ;
(b) , para ;
© .