Em cada caso determine
indicando o domínio de cada uma destas funções.
(a)
.
(b)
,
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar
e
para cada par de funções dadas, além de indicar o domínio de cada uma dessas operações. Para isso, vamos usar conceitos de funções e domínios, que são partes básicas da matemática.
Passo 2
Vamos começar com o item (a):
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar
. Isso significa somar as duas funções:
Para somar frações, precisamos de um denominador comum. Observando os denominadores
e
, percebemos que
é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada:
Então, o denominador comum será
. Vamos reescrever cada fração com esse denominador:
Agora, podemos somar as duas funções:
Passo 4
Agora, vamos determinar
. Isso significa dividir
por
:
Dividir frações é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Então:
Lembrando que
, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o domínio de
e
.
Domínio de
:
-
exige que → . - O denominador
→ .
Então, domínio de
:
e
.
Domínio de
:
- O denominador
→ e .
Então, domínio de
:
e
.
Domínio de
:
É a interseção dos domínios de
e
:
Como
, não precisamos nos preocupar com
. Portanto:
Domínio de
:
,
.
Domínio de
:
Precisamos que
e que
e
estejam definidos.
Além das restrições de
:
- O denominador de
, que é , não pode ser zero, mas já consideramos isso ao determinar os domínios de e .
Então, domínio de
:
,
.
Passo 6
Agora, vamos para o item (b):
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar
:
Vamos expandir
:
Então:
Passo 8
Agora, vamos determinar
:
Novamente, expandindo
:
E fatorando o denominador:
Então:
Podemos fatorar o numerador:
Então:
Observe que
, então:
Passo 9
Agora, vamos encontrar o domínio de
e
.
Domínio de
:
A função
é um polinômio e está definida para todos os
.
Domínio de
:
A função
está definida para todos os
exceto onde o denominador é zero, mas aqui não há denominador, então
está definida para todos os
.
Domínio de
:
Como ambas as funções estão definidas para todos os
, o domínio de
também é
.
Domínio de
:
Precisamos que
:
Então, domínio de
:
,
.
Resposta
Item (a):
Domínios:
-
: , -
: ,
Item (b):
Domínios:
-
: -
: ,
Exercícios relacionados
Determine as composições
e
, para cada uma das funções a seguir, indicando em cada caso o domínio correspondente:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
[Lembre que o Dominio de ]
(a)
(b)
©
(d)
[Lembre que o Dominio de
Mostre que se
é uma função bijetóra então sua função inversa é única.
Determine se as seguintes funções são injetóras:
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Mostre que
e
são inversas uma da outra:
(a) ;
(b) , para
;
© .
(a)
(b)
©