Determine se as seguintes funções são injetóras:
(a)
(b)
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se certas funções são injetoras. Isso tá ligado à matéria de funções na matemática. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que significa uma função ser injetora e aplicar isso em cada uma das funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, para cada valor de saída, houver apenas um valor de entrada correspondente. Em outras palavras, se
então necessariamente
. Isso garante que não tem dois valores diferentes de
que resultam no mesmo
.
Passo 3
Vamos analisar a função (a)
. Sabemos que a função cúbica
é estritamente crescente, o que significa que conforme
aumenta,
também aumenta sem nunca repetir valores. Subtraindo 1 não muda essa característica. Então, essa função é injetora porque cada valor de
gera um valor único de
.
Passo 4
Agora, a função (b)
. Essa é uma função até quarta potência, que tem algumas particularidades. Pense que tanto
quanto
resultam em
. Isso mostra que dois valores diferentes de
dão o mesmo resultado de
. Portanto, essa função não é injetora porque não satisfaz a condição de que
implica
.
Passo 5
Por último, a função ©
. Essa é uma função linear, onde o coeficiente de
é positivo. Funções lineares com coeficiente não nulo são sempre estritamente crescentes ou decrescentes, dependendo do sinal do coeficiente. No caso, como é 3, é estritamente crescente. Isso significa que cada valor de
gera um valor distinto de
, tornando a função injetora.
Resposta
(a) Injetora.
(b) Não injetora.
© Injetora.
Exercícios relacionados
Em cada caso determine
indicando o domínio de cada uma destas funções.
(a)
.
(b) ,
.
(a)
(b)
Determine as composições
e
, para cada uma das funções a seguir, indicando em cada caso o domínio correspondente:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
[Lembre que o Dominio de ]
(a)
(b)
©
(d)
[Lembre que o Dominio de
Mostre que
e
são inversas uma da outra:
(a) ;
(b) , para
;
© .
(a)
(b)
©
Sejam
com
. Encontre
e
tais que:
(a) ;
(b) .
(a)
(b)