Determine se as seguintes funções são injetóras:
(a) f(x) = x^3 - 1
(b) f(x) = x^4
© f(x) = 3x - 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se certas funções são injetoras. Isso tá ligado à matéria de funções na matemática. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que significa uma função ser injetora e aplicar isso em cada uma das funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, para cada valor de saída, houver apenas um valor de entrada correspondente. Em outras palavras, se então necessariamente . Isso garante que não tem dois valores diferentes de x que resultam no mesmo f(x).

Passo 3

Vamos analisar a função (a) . Sabemos que a função cúbica x^3 é estritamente crescente, o que significa que conforme x aumenta, f(x) também aumenta sem nunca repetir valores. Subtraindo 1 não muda essa característica. Então, essa função é injetora porque cada valor de x gera um valor único de f(x).

Passo 4

Agora, a função (b) . Essa é uma função até quarta potência, que tem algumas particularidades. Pense que tanto x = 2 quanto resultam em . Isso mostra que dois valores diferentes de x dão o mesmo resultado de f(x). Portanto, essa função não é injetora porque não satisfaz a condição de que implica .

Passo 5

Por último, a função © . Essa é uma função linear, onde o coeficiente de x é positivo. Funções lineares com coeficiente não nulo são sempre estritamente crescentes ou decrescentes, dependendo do sinal do coeficiente. No caso, como é 3, é estritamente crescente. Isso significa que cada valor de x gera um valor distinto de f(x), tornando a função injetora.

Resposta

(a) Injetora.
(b) Não injetora.
© Injetora.

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