Mostre que se
é uma função bijetóra então sua função inversa é única.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que se uma função
for bijetora, então sua função inversa é única. Vamos usar conceitos de funções injetoras, sobrejetoras e inversas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser bijetora. Uma função é bijetora se ela é injetora (ou seja, elementos diferentes de
mapeiam para elementos diferentes de
) e sobrejetora (ou seja, todo elemento de
é atingido por pelo menos um elemento de
). Isso garante que a função tem uma inversa bem definida.
Passo 3
Agora, suponha que existam duas funções inversas para
, vamos chamar de
e
. Nossa missão é mostrar que
e
são, na verdade, a mesma função.
Passo 4
Para provar que
, vamos usar a propriedade das funções inversas. Sabemos que:
E o mesmo vale para
. Vamos aplicar
em
:
O último passo utiliza o fato de que
e
são inversas, então
. Assim, concluímos que
para todo
.
Passo 5
Como mostramos que qualquer duas possíveis funções inversas
e
são iguais para todo elemento de
, isso significa que a função inversa de
é única.
Resposta
Portanto, se
é uma função bijetora, então sua função inversa é única.
Exercícios relacionados
Considere a função
para diferentes domínios
; e
. Determine a imagem dessa função para cada um dos domínios anteriores.
Seja
. Determine:
(a) ; para quais valores de
faz sentido essa composição?.
(b) ,
© ,
(d) ,
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Determine as composições
e
, para cada uma das funções a seguir, indicando em cada caso o domínio correspondente:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
[Lembre que o Dominio de ]
(a)
(b)
©
(d)
[Lembre que o Dominio de
Em cada caso determine
indicando o domínio de cada uma destas funções.
(a)
.
(b) ,
.
(a)
(b)