Mostre que se
é uma função bijetóra então sua função inversa é única.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que se uma função
for bijetora, então sua função inversa é única. Vamos usar conceitos de funções injetoras, sobrejetoras e inversas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser bijetora. Uma função é bijetora se ela é injetora (ou seja, elementos diferentes de
mapeiam para elementos diferentes de
) e sobrejetora (ou seja, todo elemento de
é atingido por pelo menos um elemento de
). Isso garante que a função tem uma inversa bem definida.
Passo 3
Agora, suponha que existam duas funções inversas para
, vamos chamar de
e
. Nossa missão é mostrar que
e
são, na verdade, a mesma função.
Passo 4
Para provar que
, vamos usar a propriedade das funções inversas. Sabemos que:
E o mesmo vale para
. Vamos aplicar
em
:
O último passo utiliza o fato de que
e
são inversas, então
. Assim, concluímos que
para todo
.
Passo 5
Como mostramos que qualquer duas possíveis funções inversas
e
são iguais para todo elemento de
, isso significa que a função inversa de
é única.
Resposta
Portanto, se
é uma função bijetora, então sua função inversa é única.