Mostre que se f: A -> B é uma função bijetóra então sua função inversa é única.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que se uma função for bijetora, então sua função inversa é única. Vamos usar conceitos de funções injetoras, sobrejetoras e inversas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser bijetora. Uma função é bijetora se ela é injetora (ou seja, elementos diferentes de mapeiam para elementos diferentes de ) e sobrejetora (ou seja, todo elemento de é atingido por pelo menos um elemento de ). Isso garante que a função tem uma inversa bem definida.

Passo 3

Agora, suponha que existam duas funções inversas para , vamos chamar de e . Nossa missão é mostrar que e são, na verdade, a mesma função.

Passo 4

Para provar que , vamos usar a propriedade das funções inversas. Sabemos que:
E o mesmo vale para . Vamos aplicar em :
O último passo utiliza o fato de que e são inversas, então . Assim, concluímos que para todo .

Passo 5

Como mostramos que qualquer duas possíveis funções inversas e são iguais para todo elemento de , isso significa que a função inversa de é única.

Resposta

Portanto, se é uma função bijetora, então sua função inversa é única.

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