Mostre que e são inversas uma da outra:
(a) ;
(b) , para ;
© .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente mostrar que duas funções são inversas uma da outra. Isso faz parte do conteúdo de funções e suas inversas em matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversa da outra e então verificar se, ao compor as funções nas duas ordens possíveis, a gente chega de volta na variável original .

Passo 2

Parte (a)

Primeiro, vamos olhar para as funções:
Para mostrar que e são inversas, precisamos verificar duas coisas:
Vamos fazer isso passo a passo.

Calculando

Primeiro, substituímos em :
Simplificando:
Ótimo, isso confirma uma das condições.

Calculando

Agora, substituímos em :
Simplificando:
Perfeito, a segunda condição também foi satisfeita.

Passo 3

Parte (b)

Agora, vamos para as funções:
(para )
Novamente, vamos verificar se e são inversas, checando e .

Calculando

Substituindo em :
Isso confirma a primeira condição.

Calculando

Substituindo em :
Como , temos:
A segunda condição também é satisfeita.

Passo 4

Parte ©

Por último, vamos verificar as funções:
Vamos verificar e .

Calculando

Substituindo em :
Simplificando:
Primeira condição confirmada.

Calculando

Substituindo em :
Simplificando:
Segunda condição também confirmada.

Resposta

Todas as funções e nas partes (a), (b) e © são inversas uma da outra, já que e para cada par de funções.

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes funções são injetóras:
(a)
(b)
© .
Em cada caso determine indicando o domínio de cada uma destas funções.
(a)
.
(b) ,
.
Sejam com . Encontre e tais que:
(a) ;
(b) .
Se é uma função par e ímpar ao mesmo tempo o que pode dizer sobre ?