Mostre que
e
são inversas uma da outra:
(a)
;
(b)
, para
;
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente mostrar que duas funções são inversas uma da outra. Isso faz parte do conteúdo de funções e suas inversas em matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversa da outra e então verificar se, ao compor as funções nas duas ordens possíveis, a gente chega de volta na variável original
.
Passo 2
Parte (a)
Primeiro, vamos olhar para as funções:
Para mostrar que
e
são inversas, precisamos verificar duas coisas:
Vamos fazer isso passo a passo.
Calculando
Primeiro, substituímos
em
:
Simplificando:
Ótimo, isso confirma uma das condições.
Calculando
Agora, substituímos
em
:
Simplificando:
Perfeito, a segunda condição também foi satisfeita.
Passo 3
Parte (b)
Agora, vamos para as funções:
Novamente, vamos verificar se
e
são inversas, checando
e
.
Calculando
Substituindo
em
:
Isso confirma a primeira condição.
Calculando
Substituindo
em
:
Como
, temos:
A segunda condição também é satisfeita.
Passo 4
Parte ©
Por último, vamos verificar as funções:
Vamos verificar
e
.
Calculando
Substituindo
em
:
Simplificando:
Primeira condição confirmada.
Calculando
Substituindo
em
:
Simplificando:
Segunda condição também confirmada.
Resposta
Todas as funções
e
nas partes (a), (b) e © são inversas uma da outra, já que
e
para cada par de funções.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes funções são injetóras:
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Em cada caso determine
indicando o domínio de cada uma destas funções.
(a)
.
(b) ,
.
(a)
(b)
Sejam
com
. Encontre
e
tais que:
(a) ;
(b) .
(a)
(b)
Se
é uma função par e ímpar ao mesmo tempo o que pode dizer sobre
?