Em cada caso determine y', para cada função derivável y = f(x), abaixo:
y^3 + x * y^2 + y = 3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação envolvendo e :
Precisamos descobrir , que é a derivada de em relação a . Para isso, vamos usar o método da diferenciação implícita, que é quando a função está misturada com e não está isolada. Isso significa que é uma função de , mesmo que não esteja explícito.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que, ao derivar em relação a , precisamos usar a regra da cadeia, já que depende de .
Vamos diferenciar termo a termo:
  1. Derivada de :
Aqui, usamos a regra do poder ( ).
  1. Derivada de :
Aqui, usamos a regra do produto ( ).
  1. Derivada de :
  1. Derivada de (lado direito da equação):

Passo 3

Agora, juntamos todas as derivadas que calculamos:
Nosso objetivo é isolar . Primeiro, vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 4

Vamos mover o termo sem para o outro lado da equação:
Agora, para isolar , dividimos ambos os lados pelo coeficiente que está multiplicando :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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