Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da curva y^3 - 3 x^2 y + x^3 = 11, no ponto (2,3).

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto . Para isso, vamos usar derivadas implícitas, que nos ajudam a encontrar a inclinação dessa reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação da curva em relação a . Como é uma função de (mesmo que não estejamos vendo ela explicitamente), vamos usar a regra da derivada implícita. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação respeitando que também depende de .

Passo 3

Vamos deriver cada termo:
  • Derivada de : Usando a regra da cadeia, a derivada é .
  • Derivada de : Aqui usamos a regra do produto. Primeiro derivamos que dá , e depois que dá . Então, a derivada total é .
  • Derivada de : É simplesmente .
  • Derivada de 11: Como é uma constante, a derivada é 0.

Passo 4

Juntando todas as derivadas, temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão distribuindo o -3:

Passo 6

Agora, vamos juntar os termos que têm de um lado e os demais do outro:

Passo 7

Isolando , temos:

Passo 8

Agora, vamos substituir o ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:

Passo 9

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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