Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da curva , no ponto .
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui: precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto . Para isso, vamos usar derivadas implícitas, que nos ajudam a encontrar a inclinação dessa reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação da curva em relação a . Como é uma função de (mesmo que não estejamos vendo ela explicitamente), vamos usar a regra da derivada implícita. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação respeitando que também depende de .
Passo 3
Vamos deriver cada termo:
Derivada de : Usando a regra da cadeia, a derivada é .
Derivada de : Aqui usamos a regra do produto. Primeiro derivamos que dá , e depois que dá . Então, a derivada total é .
Derivada de : É simplesmente .
Derivada de 11: Como é uma constante, a derivada é 0.
Passo 4
Juntando todas as derivadas, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão distribuindo o -3:
Passo 6
Agora, vamos juntar os termos que têm de um lado e os demais do outro:
Passo 7
Isolando , temos:
Passo 8
Agora, vamos substituir o ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Passo 9
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta: