Seja
definida implicitamente pela equação
. Qual é a reta tangente a esta curva no ponto
Passo 1
Então, a gente tem a equação
que define
em função de
de maneira implícita. Nosso objetivo aqui é encontrar a reta tangente a essa curva no ponto
. Para resolver isso, vamos usar derivação implícita, que ajuda a encontrar a derivada
mesmo quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, sempre que der a gente vê
, precisa multiplicar pela derivada
.
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo:
-
Diferenciando
: -
Diferenciando
:
Aqui usamos a regra do produto. Sejae . Então: Calculando cada parte:Para, a derivada é: Então, a derivada defica: -
Diferenciando
: -
Diferenciando 10:
Passo 4
Juntando tudo, a derivada da equação fica:
Passo 5
Vamos reorganizar para isolar
:
Passo 6
Agora, resolvendo para
:
Passo 7
Vamos substituir o ponto
na expressão para encontrar a inclinação da reta tangente:
Simplificando:
Como a divisão por zero é indefinida, isso significa que a reta tangente é vertical.
Resposta
A reta tangente à curva no ponto
é
.