Seja y = f(x) definida implicitamente pela equação x^2 - x * raiz(x * y) + 2 * y^2 = 10. Qual é a reta tangente a esta curva no ponto (4,1) ?

Passo 1

Então, a gente tem a equação que define y em função de x de maneira implícita. Nosso objetivo aqui é encontrar a reta tangente a essa curva no ponto (4,1). Para resolver isso, vamos usar derivação implícita, que ajuda a encontrar a derivada mesmo quando y está misturado com x na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembrando que y é uma função de x, sempre que der a gente vê y, precisa multiplicar pela derivada .

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo:
  1. Diferenciando x^2:
  2. Diferenciando :
    Aqui usamos a regra do produto. Seja e . Então:
    Calculando cada parte:
    Para , a derivada é:
    Então, a derivada de fica:
  3. Diferenciando :
  4. Diferenciando 10:

Passo 4

Juntando tudo, a derivada da equação fica:

Passo 5

Vamos reorganizar para isolar :

Passo 6

Agora, resolvendo para :

Passo 7

Vamos substituir o ponto (4,1) na expressão para encontrar a inclinação da reta tangente:
Simplificando:
Como a divisão por zero é indefinida, isso significa que a reta tangente é vertical.

Resposta

A reta tangente à curva no ponto (4,1) é .

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