Dois carros se deslocam em estradas perpendiculares, um para o nortte com velocidade
e o outro
. O segundo carro pssou pelo cruzamento 2 horas depois do primeiro. Determine a axa de variação da distância entre os carros 3 horas após o segundo carro passar pelo cruzamento?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos dois carros se movendo em estradas perpendiculares. O primeiro carro vai para o norte com velocidade de
e passou pelo cruzamento 2 horas antes do segundo carro, que se move a
. Precisamos encontrar a taxa de variação da distância entre os carros 3 horas após o segundo carro ter passado pelo cruzamento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Movimentos Relacionados e derivadas, aplicando o teorema de Pitágoras para relacionar as posições dos carros.
Passo 2
Vamos definir o tempo a partir do momento que o segundo carro passa pelo cruzamento. Seja
nesse momento. Três horas após,
horas. Nesse instante, o primeiro carro já estava viajando há 2 horas antes de
, ou seja, há um total de 5 horas em movimento.
Passo 3
Vamos determinar a posição de cada carro em relação ao cruzamento no tempo
. O primeiro carro, que vai para o norte, terá deslocado uma distância de:
Substituindo os valores:
O segundo carro, que vai perpendicularmente com velocidade de
, terá deslocado:
Substituindo os valores:
Passo 4
A distância entre os carros,
, forma o lado hipotenusa de um triângulo retângulo, onde
e
são os catetos. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Passo 5
Para encontrar a taxa de variação da distância entre os carros, vamos derivar
em relação ao tempo
:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos calcular os valores em
horas:
Passo 7
As derivadas das posições em relação ao tempo são as velocidades:
Passo 8
Substituindo na fórmula da taxa de variação:
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Total:
Então,
Resposta
A taxa de variação da distância entre os carros 3 horas após o segundo carro passar pelo cruzamento é de
.