Dois carros se deslocam em estradas perpendiculares, um para o nortte com velocidade v1 = 48 km/h e o outro v2 = 60 km/h. O segundo carro pssou pelo cruzamento 2 horas depois do primeiro. Determine a axa de variação da distância entre os carros 3 horas após o segundo carro passar pelo cruzamento?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos dois carros se movendo em estradas perpendiculares. O primeiro carro vai para o norte com velocidade de e passou pelo cruzamento 2 horas antes do segundo carro, que se move a . Precisamos encontrar a taxa de variação da distância entre os carros 3 horas após o segundo carro ter passado pelo cruzamento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Movimentos Relacionados e derivadas, aplicando o teorema de Pitágoras para relacionar as posições dos carros.

Passo 2

Vamos definir o tempo a partir do momento que o segundo carro passa pelo cruzamento. Seja nesse momento. Três horas após, horas. Nesse instante, o primeiro carro já estava viajando há 2 horas antes de , ou seja, há um total de 5 horas em movimento.

Passo 3

Vamos determinar a posição de cada carro em relação ao cruzamento no tempo . O primeiro carro, que vai para o norte, terá deslocado uma distância de:
Substituindo os valores:
O segundo carro, que vai perpendicularmente com velocidade de , terá deslocado:
Substituindo os valores:

Passo 4

A distância entre os carros, , forma o lado hipotenusa de um triângulo retângulo, onde e são os catetos. Aplicando o Teorema de Pitágoras:

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação da distância entre os carros, vamos derivar em relação ao tempo :
Simplificando a expressão:

Passo 6

Vamos calcular os valores em horas:

Passo 7

As derivadas das posições em relação ao tempo são as velocidades:

Passo 8

Substituindo na fórmula da taxa de variação:
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Total:
Então,

Resposta

A taxa de variação da distância entre os carros 3 horas após o segundo carro passar pelo cruzamento é de .

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