Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
(e) rrrx1-2 x3 & = & -1 x2-x4 & = & 2 -3 x2+2 x3 & = & 0 -4 x1+7 x4 & = & -5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. A gente tem 4 equações com 4 incógnitas ( ). Para isso, vamos montar uma matriz aumentada e fazer operações para chegar à forma triangular, facilitando a resolução. Precisamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
1 & 0 & -2 & 0 & | & -1 0 & 1 & 0 & -1 & | & 2 0 & -3 & 2 & 0 & | & 0 -4 & 0 & 0 & 7 & | & -5
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e as colunas correspondem às variáveis até e ao termo constante.

Passo 3

Vamos começar eliminando a variável 1 & 0 & -2 & 0 & | & -1 0 & 1 & 0 & -1 & | & 2 0 & -3 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & -8 & 7 & | & -9 da quarta equação. Para isso, podemos somar 4 vezes a primeira equação à quarta equação:
4 * (1ª equação):
Somando à 4ª equação:
Resultado:
Agora, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar 1 & 0 & -2 & 0 & | & -1 0 & 1 & 0 & -1 & | & 2 0 & 0 & 2 & -3 & | & 6 0 & 0 & -8 & 7 & | & -9 da terceira equação usando a segunda equação. Multiplicamos a segunda equação por 3 e somamos à terceira:
3 * (2ª equação):
Somando à 3ª equação:
Resultado:
Atualizando a matriz:

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com as equações 3 e 4 para eliminar . Vamos multiplicar a 3ª equação por 4 e a 4ª equação por 1, de modo a facilitar a soma:
4 * (3ª equação):
1 * (4ª equação):
Somando as duas:

Passo 6

Resolvendo para -5x4 = 15 Rightarrow x4 = 15-5 = -3 :

Passo 7

Com 2x3 - 3x4 = 6 Rightarrow 2x3 - 3(-3) = 6 Rightarrow 2x3 + 9 = 6 Rightarrow 2x3 = -3 Rightarrow x3 = -32 , vamos voltar para a 3ª equação para encontrar :

Passo 8

Agora, usando a 2ª equação para encontrar x2 - x4 = 2 Rightarrow x2 - (-3) = 2 Rightarrow x2 + 3 = 2 Rightarrow x2 = -1 :

Passo 9

Por fim, usando a 1ª equação para encontrar x1 - 2x3 = -1 Rightarrow x1 - 2(-32) = -1 Rightarrow x1 + 3 = -1 Rightarrow x1 = -4 :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -4 x2 = -1 x3 = -dfrac32 x4 = -3

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