Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
(b) c5 x+5 y=5 2 x+z=0 5 x+y-z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: , e . O objetivo é resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss ou Gauss-Jordan. Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e então aplicar operações para simplificar até achar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso facilita visualizar as equações e aplicar as operações de eliminação. Nosso sistema é:
5x + 5y = 5 2x + z = 0 5x + y - z = 1
A matriz aumentada fica assim:
5 & 5 & 0 & | & 5 2 & 0 & 1 & | & 0 5 & 1 & -1 & | & 1

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar as incógnitas para facilitar a resolução. Vamos usar a primeira linha para eliminar o 1 & 1 & 0 & | & 1 2 & 0 & 1 & | & 0 5 & 1 & -1 & | & 1 das outras linhas.
Primeiro, vamos dividir a primeira linha por 5 para simplificar:
L2 = L2 - 2L1 Rightarrow (2 - 2*1)x + (0 - 2*1)y + (1 - 2*0)z = 0 - 2*1 Rightarrow 0x -2y +1z = -2
Em seguida, vamos eliminar o L3 = L3 - 5L1 Rightarrow (5 - 5*1)x + (1 - 5*1)y + (-1 - 5*0)z = 1 - 5*1 Rightarrow 0x -4y -1z = -4 da segunda e terceira linhas. Para a segunda linha, subtraímos 2 vezes a primeira linha:
1 & 1 & 0 & | & 1 0 & -2 & 1 & | & -2 0 & -4 & -1 & | & -4
Para a terceira linha, subtraímos 5 vezes a primeira linha:
A matriz atualizada fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar ainda mais. Vamos usar a segunda linha para eliminar o L2 = L2-2 Rightarrow 0x + y -0.5z = 1 da terceira linha. Primeiro, vamos dividir a segunda linha por -2 para facilitar:
1 & 1 & 0 & | & 1 0 & 1 & -0.5 & | & 1 0 & -4 & -1 & | & -4
Agora, temos:
L3 = L3 + 4L2 Rightarrow 0x + (-4 + 4*1)y + (-1 + 4*(-0.5))z = -4 + 4*1 Rightarrow 0x + 0y -3z = 0
Em seguida, vamos somar 4 vezes a segunda linha à terceira linha para eliminar o 1 & 1 & 0 & | & 1 0 & 1 & -0.5 & | & 1 0 & 0 & -3 & | & 0 :
Agora, a matriz está assim:

Passo 5

Agora, vamos resolver as equações de baixo para cima. Começando pela terceira linha:
-3z = 0 Rightarrow z = 0
Substituindo y - 0.5(0) = 1 Rightarrow y = 1 na segunda linha:
x + 1 = 1 Rightarrow x = 0
E finalmente, substituindo e na primeira linha:

Resposta

A solução do sistema é , e . Não há graus de liberdade, ou seja, a solução é única.

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