Em cada caso determine y', para cada função derivável y = f(x), abaixo:
y^3 - x*y = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a derivada de uma função que satisfaz a equação . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas implícitas. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixar tudo em um lado:
Agora, queremos encontrar , que é a derivada de em relação a . Como é uma função de , teremos que derivar cada termo considerando isso.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
  1. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a é:
  2. Derivada de :
    Usamos a regra do produto porque temos o produto de duas funções e :
  3. Derivada de :
    A derivada de uma constante é zero:

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas na equação original derivada:
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Nosso objetivo é isolar . Vamos fatorar dos primeiros dois termos:
Agora, trazemos o termo para o outro lado da equação:
Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada é:

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