Em cada caso determine
, para cada função derivável
, abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a derivada
de uma função
que satisfaz a equação
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas implícitas. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixar tudo em um lado:
Agora, queremos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Como
é uma função de
, teremos que derivar cada termo considerando isso.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação em relação a
:
-
Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada deem relação a é: -
Derivada de
:
Usamos a regra do produto porque temos o produto de duas funçõese : -
Derivada de
:
A derivada de uma constante é zero:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas na equação original derivada:
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Nosso objetivo é isolar
. Vamos fatorar
dos primeiros dois termos:
Agora, trazemos o termo
para o outro lado da equação:
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada
é: