Seguindo as etapas vistas no material, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções: y = x^4 - 6 x^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função . Este problema faz parte do conteúdo de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como interceptações, simetria, extremos e comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o grau e o coeficiente líder da função. A função é um polinômio de quarto grau. O coeficiente do termo de maior grau é positivo ( ), o que nos diz que quando tende a ou , também tende a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interceptação com o eixo . Para isso, substituímos :
Então, o gráfico passa pela origem .

Passo 4

Vamos verificar a simetria da função. Como todos os expoentes de são pares, a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo . Isso simplifica nosso trabalho, pois precisamos analisar apenas para e refletir para .

Passo 5

Em seguida, encontramos as interceptações com o eixo resolvendo :
Portanto, as interceptações com o eixo são e .

Passo 6

Vamos determinar os extremos da função encontrando a derivada e igualando a zero. A derivada de em relação a é:
Igualando a derivada a zero:
Esses são os pontos críticos onde possíveis máximas ou mínimas locais ocorrem.

Passo 7

Vamos analisar a segunda derivada para identificar a natureza dos extremos. A segunda derivada é:
Avaliando em :
Como , temos um mínimo local em .
Fazendo o mesmo para :
Também é um mínimo local.
Para :
Aqui temos um ponto de máximo local.

Passo 8

Vamos calcular as coordenadas dos extremos. Para :
Portanto, o ponto mínimo é .
Para :
O ponto mínimo é .
Para :
O ponto de máximo local é .

Passo 9

Com todas essas informações, podemos descrever o comportamento do gráfico:
  • Passa pela origem .
  • Tem interceptações com o eixo em .
  • Possui mínimo local em .
  • Como o grau é par e o coeficiente líder é positivo, o gráfico sobe para nos extremos de .

Resposta

O esboço do gráfico de apresenta interceptações na origem e em , mínimos locais em e é simétrico em relação ao eixo , subindo para quando tende a .

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