Seguindo as etapas vistas no material, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função
. Este problema faz parte do conteúdo de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como interceptações, simetria, extremos e comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o grau e o coeficiente líder da função. A função
é um polinômio de quarto grau. O coeficiente do termo de maior grau é positivo (
), o que nos diz que quando
tende a
ou
,
também tende a
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a interceptação com o eixo
. Para isso, substituímos
:
Então, o gráfico passa pela origem
.
Passo 4
Vamos verificar a simetria da função. Como todos os expoentes de
são pares, a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo
. Isso simplifica nosso trabalho, pois precisamos analisar apenas para
e refletir para
.
Passo 5
Em seguida, encontramos as interceptações com o eixo
resolvendo
:
Portanto, as interceptações com o eixo
são
e
.
Passo 6
Vamos determinar os extremos da função encontrando a derivada e igualando a zero. A derivada de
em relação a
é:
Igualando a derivada a zero:
Esses são os pontos críticos onde possíveis máximas ou mínimas locais ocorrem.
Passo 7
Vamos analisar a segunda derivada para identificar a natureza dos extremos. A segunda derivada é:
Avaliando em
:
Como
, temos um mínimo local em
.
Fazendo o mesmo para
:
Também é um mínimo local.
Para
:
Aqui temos um ponto de máximo local.
Passo 8
Vamos calcular as coordenadas dos extremos. Para
:
Portanto, o ponto mínimo é
.
Para
:
O ponto mínimo é
.
Para
:
O ponto de máximo local é
.
Passo 9
Com todas essas informações, podemos descrever o comportamento do gráfico:
- Passa pela origem
. - Tem interceptações com o eixo
em . - Possui mínimo local em
. - Como o grau é par e o coeficiente líder é positivo, o gráfico sobe para
nos extremos de .
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta interceptações na origem e em
, mínimos locais em
e é simétrico em relação ao eixo
, subindo para
quando
tende a
.