Seguindo as etapas vistas no material, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função . Vamos usar conceitos de funções polinomiais e análise de gráficos. Para resolver, precisamos identificar pontos importantes como interceptações, comportamento da função quando tende ao infinito, e possíveis pontos de máximo ou mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função. Aqui, temos:
  • Coeficiente do : 1
  • Coeficiente do : 8
  • Termo constante: 200
Isso nos dá uma ideia sobre o grau da função (que é 4) e o sinal do coeficiente principal (positivo).

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
Interceptação com o eixo y: É o ponto onde .
Então, a interceptação com o eixo y é .
Interceptação com o eixo x: É onde .
Resolver essa equação é um pouco complicado, mas podemos notar que para negativos grandes e positivos grandes, o termo domina, então vamos focar no comportamento geral.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando tende a e .
  • Quando :
  • Quando :
Ambas as extremidades da função vão para , o que nos diz que o gráfico vai subir em ambas as direções.

Passo 5

Vamos encontrar as derivadas para identificar possíveis pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Primeira derivada:
Parece que houve um erro aqui; na verdade, derivando :
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .
Segunda derivada:
Avaliar em :
Isso indica que o teste da segunda derivada não é conclusivo, então vamos usar a primeira derivada para entender o comportamento.

Passo 6

Como a primeira derivada é sempre positiva ou zero, exceto em , onde é zero, isso sugere que a função está sempre crescendo ou constante. Portanto, é um ponto de inflexão.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A interceptação com o eixo y é em .
  • A função não intercepta o eixo x de forma fácil de resolver manualmente, mas sabemos que para grandes valores de , tende a .
  • A função tem um ponto de inflexão em e está sempre crescendo.

Resposta

O esboço do gráfico da função apresenta uma curva que intercepta o eixo y em , tende para quando vai para , e possui um ponto de inflexão em , mostrando que a função está sempre aumentando.

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Em cada caso determine , para cada função derivável , abaixo: