Seguindo as etapas vistas no material, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função
. Vamos usar conceitos de funções polinomiais e análise de gráficos. Para resolver, precisamos identificar pontos importantes como interceptações, comportamento da função quando
tende ao infinito, e possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função. Aqui, temos:
- Coeficiente do
: 1 - Coeficiente do
: 8 - Termo constante: 200
Isso nos dá uma ideia sobre o grau da função (que é 4) e o sinal do coeficiente principal (positivo).
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
Interceptação com o eixo y: É o ponto onde
.
Então, a interceptação com o eixo y é
.
Interceptação com o eixo x: É onde
.
Resolver essa equação é um pouco complicado, mas podemos notar que para
negativos grandes e positivos grandes, o termo
domina, então vamos focar no comportamento geral.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende a
e
.
- Quando
:
- Quando
:
Ambas as extremidades da função vão para
, o que nos diz que o gráfico vai subir em ambas as direções.
Passo 5
Vamos encontrar as derivadas para identificar possíveis pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Primeira derivada:
Parece que houve um erro aqui; na verdade, derivando
:
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Segunda derivada:
Avaliar em
:
Isso indica que o teste da segunda derivada não é conclusivo, então vamos usar a primeira derivada para entender o comportamento.
Passo 6
Como a primeira derivada
é sempre positiva ou zero, exceto em
, onde é zero, isso sugere que a função está sempre crescendo ou constante. Portanto,
é um ponto de inflexão.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A interceptação com o eixo y é em
. - A função não intercepta o eixo x de forma fácil de resolver manualmente, mas sabemos que para grandes valores de
, tende a . - A função tem um ponto de inflexão em
e está sempre crescendo.
Resposta
O esboço do gráfico da função
apresenta uma curva que intercepta o eixo y em
, tende para
quando
vai para
, e possui um ponto de inflexão em
, mostrando que a função está sempre aumentando.
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Em cada caso determine
, para cada função derivável
, abaixo: