Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão de Taylor da função em torno do ponto . Basicamente, isso significa que vamos expressar essa função como uma soma de termos envolvendo potências de . Para isso, vamos precisar entender o que é uma série de Taylor e como calcular os coeficientes dela usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é dada por:
Ou seja, ela é uma soma infinita de termos que envolve as derivadas da função no ponto e as potências de .

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função no ponto :
Esse será o nosso primeiro termo na expansão de Taylor.

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de :
Calculando em :
Esse é o coeficiente do termo linear .

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada:
Em :
Esse é o coeficiente do termo quadrático , mas lembre-se que na série de Taylor ele é dividido por :

Passo 6

Vamos calcular a terceira derivada:
Em :
E o coeficiente do termo cúbico é:

Passo 7

Podemos notar um padrão nas derivadas. A cada derivada, o sinal alterna e o denominador aumenta em potências de 2. Portanto, podemos expressar a série de Taylor de em torno de como:

Resposta

A expansão de Taylor da função em torno de é:

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g)
Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.
(a)
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Represente as seguintes funções em séries de potências de :
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