Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão de Taylor da função
em torno do ponto
. Basicamente, isso significa que vamos expressar essa função como uma soma de termos envolvendo potências de
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série de Taylor e como calcular os coeficientes dela usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é dada por:
Ou seja, ela é uma soma infinita de termos que envolve as derivadas da função no ponto
e as potências de
.
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função no ponto
:
Esse será o nosso primeiro termo na expansão de Taylor.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
:
Calculando em
:
Esse é o coeficiente do termo linear
.
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada:
Em
:
Esse é o coeficiente do termo quadrático
, mas lembre-se que na série de Taylor ele é dividido por
:
Passo 6
Vamos calcular a terceira derivada:
Em
:
E o coeficiente do termo cúbico
é:
Passo 7
Podemos notar um padrão nas derivadas. A cada derivada, o sinal alterna e o denominador aumenta em potências de 2. Portanto, podemos expressar a série de Taylor de
em torno de
como:
Resposta
A expansão de Taylor da função
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de um exemplo de função de f que satisfaz todas as condições dadas.
g)
g)
Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.
(a)
(a)
Qual a Série de Maclaurin do polinômio
?
Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
©
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