Represente as seguintes funções em séries de potências de x :
© f(x) = 3^(x + 1)

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para representarmos a função como uma série de potências em . Isso significa que vamos escrever essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como expandir funções exponenciais usando séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Podemos reescrever isso usando propriedades das potências:
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos expressar como uma série de potências. Sabemos que qualquer função exponencial pode ser expandida em série de potências usando a fórmula de Taylor:
Aqui, é o logaritmo natural de , e é o fatorial de .

Passo 4

Aplicando essa fórmula para , temos:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos envolvendo elevado a diferentes potências.

Passo 5

Lembrando que , substituímos a série que encontramos:
Podemos distribuir o 3 dentro da soma:

Passo 6

Finalmente, temos a série de potências que representa :
Essa série nos permite calcular para diferentes valores de somando os termos até onde for necessário para a precisão desejada.

Resposta

A série de potências que representa a função é:

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