Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
©
©
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para representarmos a função
como uma série de potências em
. Isso significa que vamos escrever essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como expandir funções exponenciais usando séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Podemos reescrever isso usando propriedades das potências:
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
como uma série de potências. Sabemos que qualquer função exponencial
pode ser expandida em série de potências usando a fórmula de Taylor:
Aqui,
é o logaritmo natural de
, e
é o fatorial de
.
Passo 4
Aplicando essa fórmula para
, temos:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo
elevado a diferentes potências.
Passo 5
Lembrando que
, substituímos a série que encontramos:
Podemos distribuir o 3 dentro da soma:
Passo 6
Finalmente, temos a série de potências que representa
:
Essa série nos permite calcular
para diferentes valores de
somando os termos até onde for necessário para a precisão desejada.
Resposta
A série de potências que representa a função
é: