Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.
(a) integral0^1 / 3 d x1+x^6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando uma série de potências. Isso está relacionado com a matéria de séries infinitas e integrais. Para isso, vamos precisar transformar a função dentro da integral em uma série de potências que a gente consegue integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que podemos expandir 11 + t = sumn=0^infty (-1)^n t^n, para |t| < 1 como uma série geométrica:
11 + x^6 = sumn=0^infty (-1)^n x^6n
Aqui, vamos substituir por :

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série termo a termo de 0 a integral0^1/3 dx1+x^6 = integral0^1/3 sumn=0^infty (-1)^n x^6n dx = sumn=0^infty (-1)^n integral0^1/3 x^6n dx :
integral x^6n dx = x^6n + 16n + 1
Integrando cada termo:
sumn=0^infty (-1)^n ( (1/3)^6n + 16n + 1 )
Então, substituindo os limites:

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos dessa série até alcançarmos uma boa aproximação de duas casas decimais:
n = 0: & (1/3)^11 = 13 approx 0.3333 n = 1: & -(1/3)^77 approx -13^7 cdot 7 = -12187 cdot 7 approx -0.000065 n = 2: & (1/3)^1313 approx 11594323 cdot 13 approx 0.00000005
Observamos que os termos a partir de são muito pequenos e não afetam as duas primeiras casas decimais.

Resposta

Portanto, a aproximação da integral com duas casas decimais é:
integral0^1/3 dx1+x^6 approx 0.33

Exercícios relacionados