En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou! A equação é:
Além disso, temos a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é super útil quando conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. A equação dada é:
Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Isso já está no formato
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Ou seja, queremos todos os termos com
de um lado e os com
do outro. Fazemos isso dividindo os dois lados por
e multiplicando por
:
Pronto! Agora as variáveis estão separadas.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos lembrar que:
Então, integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos resolver para
. Vamos eliminar o arco-tangente aplicando a função tangente dos dois lados da equação:
Para simplificar isso, usamos a fórmula da tangente da soma de dois ângulos:
Aplicando essa fórmula com
e
, temos:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Substituindo o valor de
de volta na equação para
, temos:
Como
, simplificamos para:
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada, com a condição inicial
, é:
Exercícios relacionados
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
© é a superfície do sólido limitado pelo círculo
e os planos
e
.
©
Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
Use o Teorema de Stokes para calcular
.
(a) é o hemisfério
, de orientação ascendente.
(a)