En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1 + y^2 = (1 + x^2) * y' con y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou! A equação é:
Além disso, temos a condição inicial y(0) = 1. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é super útil quando conseguimos separar os termos que envolvem y dos que envolvem x.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. A equação dada é:
Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Isso já está no formato .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Ou seja, queremos todos os termos com y de um lado e os com x do outro. Fazemos isso dividindo os dois lados por e multiplicando por :
Pronto! Agora as variáveis estão separadas.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos lembrar que:
Então, integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos resolver para y. Vamos eliminar o arco-tangente aplicando a função tangente dos dois lados da equação:
Para simplificar isso, usamos a fórmula da tangente da soma de dois ângulos:
Aplicando essa fórmula com e , temos:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de C. Substituindo x = 0 e na equação:
Sabemos que , então:

Passo 7

Substituindo o valor de C de volta na equação para y, temos:
Como , simplificamos para:

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada, com a condição inicial y(0) = 1, é:

Exercícios relacionados

En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' = (y - 1) * (y - 2) con
y(0) = (2 - e) / (1 - e)
Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S
© F(x, y, z)=3 x y^2 i+x e^z j+z^3 k, S é a superfície do sólido limitado pelo círculo y^2+z^2=1 e os planos x=-1 e x=2.
Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' + (2 x + 1) y = (2 - 4 x) y^2 con y(0) = 1
Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplas curl F cdot d S.
(a) F(x, y, z)=2 y cos z i+e^x sin z j+x e^y k, S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=9, z <= 0, de orientação ascendente.