En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1 + y^2 = (1 + x^2) * y' con y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou! A equação é:
Além disso, temos a condição inicial y(0) = 1. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é super útil quando conseguimos separar os termos que envolvem y dos que envolvem x.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. A equação dada é:
Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Isso já está no formato .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Ou seja, queremos todos os termos com y de um lado e os com x do outro. Fazemos isso dividindo os dois lados por e multiplicando por :
Pronto! Agora as variáveis estão separadas.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos lembrar que:
Então, integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos resolver para y. Vamos eliminar o arco-tangente aplicando a função tangente dos dois lados da equação:
Para simplificar isso, usamos a fórmula da tangente da soma de dois ângulos:
Aplicando essa fórmula com e , temos:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de C. Substituindo x = 0 e na equação:
Sabemos que , então:

Passo 7

Substituindo o valor de C de volta na equação para y, temos:
Como , simplificamos para:

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada, com a condição inicial y(0) = 1, é:

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