En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' = (y - 1) * (y - 2) con
y(0) = (2 - e) / (1 - e)

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial e uma condição inicial . Vamos resolver essa equação para encontrar a solução específica que satisfaz essa condição. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é útil para resolver equações diferenciais de primeira ordem onde podemos separar as variáveis e em lados diferentes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Vamos separar as variáveis e . Isso significa que queremos colocar todas as expressões em de um lado e as que envolvem do outro:

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. Para a parte em , podemos usar frações parciais para simplificar a integral:
Resolvendo para e :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então, a integral fica:
Integrando ambos os lados:
Podemos combinar os logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e na equação:
Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:
Ou, simplificando para :

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