Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplas curl F cdot d S.
(a) F(x, y, z)=2 y cos z i+e^x sin z j+x e^y k, S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=9, z <= 0, de orientação ascendente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial F sobre a superfície S, que é o hemisfério definido por com e orientação ascendente. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicar ele nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com a integral de linha desse campo ao longo da borda da superfície. Matematicamente, ele é expresso por:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointC F cdot dr
Isso significa que, em vez de calcular a integral de superfície, podemos calcular uma integral de linha ao longo da borda da superfície .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual é a curva de contorno da nossa superfície . Como é o hemisfério com , a borda é o círculo onde e . Esse círculo tem raio 3 e está localizado no plano .

Passo 4

Vamos parametrizar a curva r(t) = 3cos t, i + 3sin t, j, t in [0, 2pi] para facilitar a integração. Uma parametrização comum para um círculo no plano r'(t) = -3sin t, i + 3cos t, j é:
F(r(t)) = 2ycos z, i + e^xsin z, j + x e^y, k
Derivando F(r(t)) = 2 cdot 3sin t cdot 1, i + e^3cos t cdot 0, j + 3cos t cdot e^3sin t, k = 6sin t, i + 0, j + 3cos t, e^3sin t, k em relação a , temos:
Agora, vamos expressar F ao longo de :
Como em temos , simplificamos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha:
ointC F cdot dr = integral0^2pi F(r(t)) cdot r'(t), dt
Calculando o produto escalar:
F(r(t)) cdot r'(t) = 6sin t cdot (-3sin t) + 0 cdot 3cos t + 3cos t, e^3sin t cdot 0 = -18sin^2 t
Portanto, a integral fica:
ointC F cdot dr = -18 integral0^2pi sin^2 t, dt = -18 cdot pi = -18pi

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' + (2 x + 1) y = (2 - 4 x) y^2 con y(0) = 1
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1 + y^2 = (1 + x^2) * y' con y(0) = 1
En cada caso clasifica la ecuación diferencial de acuerdo a los criterios estudiados:
d^3 y/d x^3 + 2(d^2 y/d x^2)^3 + d y/d x = tg(x)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(f) f(x) = tg(x), x0 = 0