Use o Teorema de Stokes para calcular
.
(a)
é o hemisfério
, de orientação ascendente.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial F sobre a superfície S, que é o hemisfério definido por
com
e orientação ascendente. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicar ele nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com a integral de linha desse campo ao longo da borda da superfície. Matematicamente, ele é expresso por:
Isso significa que, em vez de calcular a integral de superfície, podemos calcular uma integral de linha ao longo da borda
da superfície
.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual é a curva de contorno
da nossa superfície
. Como
é o hemisfério
com
, a borda
é o círculo onde
e
. Esse círculo tem raio 3 e está localizado no plano
.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva
para facilitar a integração. Uma parametrização comum para um círculo no plano
é:
Derivando
em relação a
, temos:
Agora, vamos expressar F ao longo de
:
Como em
temos
, simplificamos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de linha:
Calculando o produto escalar:
Portanto, a integral fica:
Resposta
A integral vale
.