Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
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é a superfície do sólido limitado pelo círculo
e os planos
e
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é o limite do sólido definido pelo círculo
e pelos planos
e
. Vamos usar o Teorema da Divergente para facilitar o cálculo. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. Para isso, vamos precisar calcular a divergência de
e depois integrar isso sobre o volume delimitado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. Se
, então a divergência de
é:
No nosso caso,
,
e
. Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência
é:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral de volume da divergência sobre o sólido limitado por
. O sólido é definido pelo círculo
e pelos planos
e
. Isso significa que
varia de
a
, e para cada
,
e
estão dentro do círculo
.
A integral de volume será:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região em
e
é circular. Nas coordenadas cilíndricas:
Com isso, a divergência fica:
Passo 6
Agora, substituindo na integral de volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, integramos em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral de superfície
vale
.
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con
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