Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S
© F(x, y, z)=3 x y^2 i+x e^z j+z^3 k, S é a superfície do sólido limitado pelo círculo y^2+z^2=1 e os planos x=-1 e x=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície , onde . A superfície é o limite do sólido definido pelo círculo e pelos planos e . Vamos usar o Teorema da Divergente para facilitar o cálculo. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. Para isso, vamos precisar calcular a divergência de e depois integrar isso sobre o volume delimitado por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. Se nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z , então a divergência de é:
No nosso caso, , e . Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial x = partialpartial x(3xy^2) = 3y^2
partial Qpartial y = partialpartial y(xe^z) = 0 (porque xe^z não depende de y) ã
partial Rpartial z = partialpartial z(z^3) = 3z^2
Então, a divergência nabla cdot F = 3y^2 + 0 + 3z^2 = 3y^2 + 3z^2 é:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral de volume da divergência sobre o sólido limitado por integral triplaV (3y^2 + 3z^2) , dV . O sólido é definido pelo círculo e pelos planos e . Isso significa que varia de a , e para cada , e estão dentro do círculo .
A integral de volume será:

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região em y = rcostheta, z = rsintheta, dV = r , dr , dtheta , dx e 3y^2 + 3z^2 = 3r^2cos^2theta + 3r^2sin^2theta = 3r^2(cos^2theta + sin^2theta) = 3r^2 é circular. Nas coordenadas cilíndricas:
Com isso, a divergência fica:

Passo 6

Agora, substituindo na integral de volume:
integral triplaV 3r^2 cdot r , dr , dtheta , dx = 3 integralx=-1^2 integraltheta=0^2pi integralr=0^1 r^3 , dr , dtheta , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14 :
integral0^2pi dtheta = 2pi
Depois, integramos em relação a integral-1^2 dx = 2 - (-1) = 3 :
Por fim, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, juntando tudo:
3 cdot 14 cdot 2pi cdot 3 = 3 cdot 14 cdot 2pi cdot 3 = 34 cdot 6pi = 18pi4 = 9pi2

Resposta

A integral de superfície vale .

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