Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por y=x^2, y=0 e x+y=2 ; f=x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região delimitada por , e . A função que vamos integrar é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, para encontrar o volume sob a superfície definida por na região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender e desenhar a região . Temos três curvas:
  1. – uma parábola que abre para cima.
  2. – o eixo .
  3. – uma reta que intercepta os eixos em e .
Vamos encontrar os pontos de interseção para delimitar bem a região.

Passo 3

Vamos achar onde e se cruzam:
Substituindo na segunda equação:


Resolvendo a equação quadrática:

Então, e . Mas como , consideramos .

Passo 4

Agora, estabelecemos os limites de integração. Olhando para integralx=0^1 integraly=0^2 - x x cdot y , dy , dx , ele varia de 0 a 1 (já que para , ). Para cada nesse intervalo, vai de até .
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^2 - x x cdot y , dy = x [ y^22 ]0^2 - x = x cdot (2 - x)^22
Agora, integramos isso em relação a integral0^1 x(2 - x)^22 , dx :
12 integral0^1 x(4 - 4x + x^2) , dx = 12 integral0^1 (4x - 4x^2 + x^3) , dx
Expandindo 12 [ 2x^2 - 43x^3 + 14x^4 ]0^1 = 12 ( 2 - 43 + 14 ) = 12 ( 84 - 1612 + 312 ) = 12 cdot 1112 = 1124 , temos:
Integrando termo a termo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Encontre a equação da reta tangente à curva y = 1 / raiz(x) nos pontos 1,1 e (4, 1/2).
Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por y=exp (x), y=log x, x+y=1 e x+y=1+e ; f=1.
Prove que z é real se z = z_barra;
Verifique as igualdades: 5 / ((1 - i)(2 - i)(3 - i)) = 1/2 i;