Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
é a região delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região
delimitada por
,
e
. A função que vamos integrar é
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, para encontrar o volume sob a superfície definida por
na região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender e desenhar a região
. Temos três curvas:
-
– uma parábola que abre para cima. -
– o eixo . -
– uma reta que intercepta os eixos em e .
Vamos encontrar os pontos de interseção para delimitar bem a região.
Passo 3
Vamos achar onde
e
se cruzam:
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, e
. Mas como
, consideramos
.
Substituindo
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
Passo 4
Agora, estabelecemos os limites de integração. Olhando para
, ele varia de 0 a 1 (já que para
,
). Para cada
nesse intervalo,
vai de
até
.
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, integramos isso em relação a
:
Expandindo
, temos:
Integrando termo a termo:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente à curva
nos pontos
e
.
Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
Prove que
é real se
;
Verifique as igualdades:
;