Encontre a equação da reta tangente à curva y = 1 / raiz(x) nos pontos 1,1 e (4, 1/2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva nos pontos e . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para achar a inclinação dessas retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do poder para derivar :
Essa é a expressão da inclinação da reta tangente em qualquer ponto na curva.

Passo 4

Vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da reta:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:

Passo 7

Com a inclinação e o ponto , novamente usamos a fórmula da reta:
Simplificando:

Resposta

As equações das retas tangentes são:
  1. No ponto :
  1. No ponto :

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