Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por y=exp (x), y=log x, x+y=1 e x+y=1+e ; f=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de sobre a região . Isso significa que queremos encontrar a área dessa região . A região é delimitada pelas curvas , , e . Para resolver isso, a gente vai precisar entender como essas curvas se comportam no plano e encontrar onde elas se intersectam para definir os limites da nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das curvas que formam a região :
  1. : Essa é a função exponencial. Ela cresce muito rápido conforme aumenta.
  2. : Essa é a função logarítmica. Ela cresce, mas bem mais lentamente que a exponencial, e só está definida para .
  3. : Essa é uma reta que desce duzamente pelo plano, interceptando os eixos em (1,0) e (0,1).
  4. : Outra reta paralela à anterior, mas deslocada para cima.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber exatamente onde começa e termina a nossa região x + e^x = 1 . Vamos resolver os sistemas de equações que aparecem nas interseções:
  1. Interseção entre x + e^x = 1 + e e x + ln(x) = 1 :
    x + ln(x) = 1 + e
    Não dá para resolver algebricamente, então vamos usar aproximações ou gráficos. Aproximadamente, essa interseção ocorre perto de .
  2. Interseção entre e :
    Também vai ficar perto de .
  3. Interseção entre e :
    Por aproximação, isso ocorre perto de .
  4. Interseção entre e :
    Essa interseção será para um maior que 1.

Passo 4

Com esses pontos de interseção, podemos visualizar que a região está entre as duas retas e , e entre as curvas e . Para facilitar a integração, vamos escolher integrar em relação a primeiro e depois em relação a .

Passo 5

Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Para cada x = 1 - y e x = 1 + e - y fixo entre e , varia entre as retas e . Resolvendo para :
Então, os limites para são de até .
Para , ele varia entre e . Mas precisamos determinar os valores de que correspondem às interseções. Como vimos, varia de até .

Passo 6

Com isso, nossa integral dupla fica:
integral duplaD 1 , dx , dy = integraly=1^y=e integralx=1 - y^x=1 + e - y 1 , dx , dy
Integrando primeiro em integral1 - y^1 + e - y 1 , dx = [ x ]1 - y^1 + e - y = (1 + e - y) - (1 - y) = e :

Passo 7

Agora, basta integrar integral1^e e , dy = e cdot (e - 1) = e(e - 1) em relação a de 1 a :

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é .

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Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por y=x^2, y=0 e x+y=2 ; f=x y.