Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d A
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
D=(x, y) in R^2:-1 <= x <= 2 e -raiz4-x^2 <= y <= 4-x^2 ; f=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de D = (x, y) in R^2 mid -1 <= x <= 2 e -raiz4 - x^2 <= y <= 4 - x^2 sobre a região , que está definida por:
Aqui, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral, especialmente como configurar os limites de integração de forma que a conta fique mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Para isso, vamos analisar as desigualdades que definem :
  • : Isso significa que varia de -1 a 2.
  • : Aqui, está entre a função e .
A função descreve um semicírculo com raio 2, centrado na origem. Então, é a parte de baixo desse semicírculo. Já é uma parábola que abre para baixo.

Passo 3

Vamos escolher a ordem de integração. Geralmente, é mais fácil integrar primeiro em relação a integralx=-1^2 integraly=-raiz4 - x^2^4 - x^2 1 , dy , dx e depois em relação a , porque assim nossos limites para já estão dados diretamente em função de .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integraly=-raiz4 - x^2^4 - x^2 1 , dy :
[ y ]y=-raiz4 - x^2^4 - x^2 = (4 - x^2) - (-raiz4 - x^2) = 4 - x^2 + raiz4 - x^2
Integrar 1 em relação a é simplesmente a diferença dos limites:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralx=-1^2 (4 - x^2 + raiz4 - x^2) , dx
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral-1^2 (4 - x^2) , dx + integral-1^2 raiz4 - x^2 , dx

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral:
integral-1^2 (4 - x^2) , dx
Integrando termo a termo:
integral 4 , dx - integral x^2 , dx = 4x - x^33
Então, avaliamos de [4x - x^33]-1^2 = (4(2) - 2^33) - (4(-1) - (-1)^33) a = (8 - 83) - (-4 + 13) = 163 + 113 = 273 = 9 :

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral-1^2 raiz4 - x^2 , dx
Essa é a integral de uma semicircunferência com raio 2, mas nosso intervalo vai de integral-pi6^pi2 2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta = 4 integral-pi6^pi2 cos^2 theta , dtheta a cos^2 theta = 1 + cos(2theta)2 . Para resolver, podemos usar uma substituição trigonométrica:
Seja 4 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 2 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta = 2 [ theta + sin(2theta)2 ] , então 2 [ (pi2 + sin(pi)2) - (-pi6 + sin(-pi3)2) ] , e = 2 ( pi2 - (-pi6 - raiz34 ) ) = 2 ( pi2 + pi6 + raiz34 ) .
Os limites de integração em termos de = 2 ( 2pi3 + raiz34 ) = 4pi3 + raiz32 :
  • Quando , , então .
  • Quando , , então .
A integral vira:
Lembrando que:
Então:
Avaliando de a :

Passo 8

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
9 + ( 4pi3 + raiz32 ) = 9 + 4pi3 + raiz32

Resposta

A integral dupla vale:
9 + 4pi3 + raiz32

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