Em cada caso, esboce a região e calcule a integral dupla
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que está definida por:
Aqui, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral, especialmente como configurar os limites de integração de forma que a conta fique mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Para isso, vamos analisar as desigualdades que definem :
: Isso significa que varia de -1 a 2.
: Aqui, está entre a função e .
A função descreve um semicírculo com raio 2, centrado na origem. Então, é a parte de baixo desse semicírculo. Já é uma parábola que abre para baixo.
Passo 3
Vamos escolher a ordem de integração. Geralmente, é mais fácil integrar primeiro em relação a e depois em relação a , porque assim nossos limites para já estão dados diretamente em função de .
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrar 1 em relação a é simplesmente a diferença dos limites:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 6
Vamos calcular a primeira integral:
Integrando termo a termo:
Então, avaliamos de a :
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Essa é a integral de uma semicircunferência com raio 2, mas nosso intervalo vai de a . Para resolver, podemos usar uma substituição trigonométrica:
Seja , então , e .
Os limites de integração em termos de :
Quando , , então .
Quando , , então .
A integral vira:
Lembrando que:
Então:
Avaliando de a :
Passo 8
Finalmente, somamos os resultados das duas integrais: