Em cada caso, esboce a região e calcule a integral dupla
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que está definida por:
Aqui, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral, especialmente como configurar os limites de integração de forma que a conta fique mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Para isso, vamos analisar as desigualdades que definem :
  • : Isso significa que varia de -1 a 2.
  • : Aqui, está entre a função e .
A função descreve um semicírculo com raio 2, centrado na origem. Então, é a parte de baixo desse semicírculo. Já é uma parábola que abre para baixo.

Passo 3

Vamos escolher a ordem de integração. Geralmente, é mais fácil integrar primeiro em relação a e depois em relação a , porque assim nossos limites para já estão dados diretamente em função de .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrar 1 em relação a é simplesmente a diferença dos limites:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral:
Integrando termo a termo:
Então, avaliamos de a :

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral:
Essa é a integral de uma semicircunferência com raio 2, mas nosso intervalo vai de a . Para resolver, podemos usar uma substituição trigonométrica:
Seja , então , e .
Os limites de integração em termos de :
  • Quando , , então .
  • Quando , , então .
A integral vira:
Lembrando que:
Então:
Avaliando de a :

Passo 8

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:

Resposta

A integral dupla vale:

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Calcule as derivadas parciais de: .
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