Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral imprópria:
Isso envolve cálculos de integrais onde a função pode não estar bem comportada em algum ponto do intervalo, o que chamamos de integral imprópria. Para resolver isso, precisamos verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral:
. Precisamos ver onde essa função pode causar problemas, ou seja, onde o denominador pode ser zero ou a função tende ao infinito.
Então, em
, o denominador é zero e a função se torna indefinida, o que cria uma descontinuidade no ponto
. Isso significa que a integral tem uma descontinuidade no meio do intervalo de 0 a 1.
Passo 3
Como a função tem uma descontinuidade em
, precisamos dividir a integral em duas partes e usar limites para avaliar o comportamento da integral perto desse ponto:
Passo 4
Vamos resolver a integral geral
. Para isso, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja
, então
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, integramos
:
Substituindo de volta
:
Passo 6
Voltando às integrais divididas, temos:
Simplificando:
Perceba que
não é um número real, indicando que a segunda parte da integral diverge.
Passo 7
No entanto, percebemos que haverá uma aproximação à descontinuidade, e precisamos verificar se a integral converge. Observando a função perto de
, vemos que o comportamento é similar a
, onde
tende a zero, e a integral de
converge.
Portanto, a integral imprópria é convergente.
Resposta
A integral imprópria
converge.