Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral imprópria:
Isso envolve cálculos de integrais onde a função pode não estar bem comportada em algum ponto do intervalo, o que chamamos de integral imprópria. Para resolver isso, precisamos verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: . Precisamos ver onde essa função pode causar problemas, ou seja, onde o denominador pode ser zero ou a função tende ao infinito.
Então, em , o denominador é zero e a função se torna indefinida, o que cria uma descontinuidade no ponto . Isso significa que a integral tem uma descontinuidade no meio do intervalo de 0 a 1.

Passo 3

Como a função tem uma descontinuidade em , precisamos dividir a integral em duas partes e usar limites para avaliar o comportamento da integral perto desse ponto:

Passo 4

Vamos resolver a integral geral . Para isso, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja , então .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos :
Substituindo de volta :

Passo 6

Voltando às integrais divididas, temos:
Simplificando:
Perceba que não é um número real, indicando que a segunda parte da integral diverge.

Passo 7

No entanto, percebemos que haverá uma aproximação à descontinuidade, e precisamos verificar se a integral converge. Observando a função perto de , vemos que o comportamento é similar a , onde tende a zero, e a integral de converge.
Portanto, a integral imprópria é convergente.

Resposta

A integral imprópria converge.

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(a)
Realize as seguintes tarefas:
(a) Calcule os autovalores e discuta sobre a multiplicidade algébrica e geométrica. Res:
(a) Mostre que é um autovalor de multiplicidade 3 da matriz de coeficientes e que existe apenas um autovetor associado, a saber,
(b) Usando a informação do item (a), escreva uma solução do sistema (i). Não existe outra solução da forma puramente exponencial .
Em cada caso, esboce a região e calcule a integral dupla
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
e .