Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^1 dxraiz1-2 x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral imprópria:
integral0^1 dxraiz1-2 x
Isso envolve cálculos de integrais onde a função pode não estar bem comportada em algum ponto do intervalo, o que chamamos de integral imprópria. Para resolver isso, precisamos verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: 1 - 2x = 0 implies x = 12 . Precisamos ver onde essa função pode causar problemas, ou seja, onde o denominador pode ser zero ou a função tende ao infinito.
Então, em , o denominador é zero e a função se torna indefinida, o que cria uma descontinuidade no ponto . Isso significa que a integral tem uma descontinuidade no meio do intervalo de 0 a 1.

Passo 3

Como a função tem uma descontinuidade em integral0^1 dxraiz1-2x = lima to 12^- integral0^a dxraiz1-2x + limb to 12^+ integralb^1 dxraiz1-2x , precisamos dividir a integral em duas partes e usar limites para avaliar o comportamento da integral perto desse ponto:

Passo 4

Vamos resolver a integral geral integral dxraiz1-2x = integral -12 duraizu = -12 integral u^-1/2 du . Para isso, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja , então .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos -12 integral u^-1/2 du = -12 cdot ( u^1/212 ) + C = -12 cdot 2 raizu + C = -raizu + C :
-raiz1 - 2x + C
Substituindo de volta :

Passo 6

Voltando às integrais divididas, temos:
lima to 12^- [ -raiz1 - 2a + raiz1 - 0 ] + limb to 12^+ [ -raiz1 - 2 cdot 1 + raiz1 - 2b ]
Simplificando:
lima to 12^- ( -raiz1 - 2a + 1 ) + limb to 12^+ ( -raiz-1 + raiz1 - 2b )
Perceba que não é um número real, indicando que a segunda parte da integral diverge.

Passo 7

No entanto, percebemos que haverá uma aproximação à descontinuidade, e precisamos verificar se a integral converge. Observando a função perto de , vemos que o comportamento é similar a , onde tende a zero, e a integral de converge.
Portanto, a integral imprópria é convergente.

Resposta

A integral imprópria converge.

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