Calcule as derivadas parciais de: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais e da função . Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são usadas para mostrar como uma função muda em relação a uma de suas variáveis enquanto mantém as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos com respeito a .
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
(Porque é constante e a derivada de é 1.)
  1. Derivada de em relação a :
(Aqui, usamos a regra do poder: derivada de é .)
Então, somando as derivadas dos dois termos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante e derivamos com respeito a .
A função novamente:
Derivando termo a termo em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
(Aqui, é constante e usamos a regra do poder para .)
  1. Derivada de em relação a :
(Porque a derivada de é 1.)
Então, somando as derivadas dos dois termos:

Resposta

As derivadas parciais são:

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Calcule as derivadas parciais de: .
Em cada caso, esboce a região e calcule a integral dupla
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
e .
Calcule as derivadas parciais de: .
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes: