Calcule as derivadas parciais
de:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais
e
da função
. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são usadas para mostrar como uma função muda em relação a uma de suas variáveis enquanto mantém as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos com respeito a
.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- Derivada de
em relação a :
(Porque
é constante e a derivada de
é 1.)
- Derivada de
em relação a :
(Aqui, usamos a regra do poder: derivada de
é
.)
Então, somando as derivadas dos dois termos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante e derivamos com respeito a
.
A função novamente:
Derivando termo a termo em relação a
:
- Derivada de
em relação a :
(Aqui,
é constante e usamos a regra do poder para
.)
- Derivada de
em relação a :
(Porque a derivada de
é 1.)
Então, somando as derivadas dos dois termos:
Resposta
As derivadas parciais são:
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Calcule as derivadas parciais
de:
.
Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
e
.
Calcule as derivadas parciais
de:
.
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes: