Calcule as derivadas parciais de: .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular as derivadas parciais e da função . Isso faz parte do estudo de derivadas parciais em Cálculo Diferencial Multivariável. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver essas derivadas.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a , ou seja, .
  1. Identificar as partes da função:
    • Primeiro termo:
    • Segundo termo:
  2. Aplicar a regra do produto: A derivada de é .
    • então
    • então precisamos derivar em relação a .
  3. Derivar usando a regra da cadeia:
    • A derivada de é .
    • Aqui, , então (já que é tratado como constante ao derivar em relação a ).
  4. Montar a derivada completa:
    Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, .
  1. Identificar as partes da função:
    • é considerado constante em relação a .
    • depende de .
  2. Aplicar a regra da cadeia para derivar em relação a :
    • A derivada de é .
    • Aqui, , então .
  3. Montar a derivada completa:
    Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região e calcule a integral dupla
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
e .
(a) Mostre que é um autovalor de multiplicidade 3 da matriz de coeficientes e que existe apenas um autovetor associado, a saber,
(b) Usando a informação do item (a), escreva uma solução do sistema (i). Não existe outra solução da forma puramente exponencial .
Calcule as derivadas parciais de: .
Calcule as derivadas parciais de: .