Em cada caso mostre que
é uma autofunção do operador
e encontre o autovalor.
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(b) |
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função $ f(t) = e^{i \omega t} $ é uma autofunção do operador $ \hat{A} = \frac{d}{dt} $ e encontrar o autovalor correspondente. Isso está relacionado ao estudo de operadores lineares e seus autovalores/autofunções, que são conceitos fundamentais em álgebra linear e em física, especialmente na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador e uma autofunção. Um operador é basicamente uma regra que você aplica a uma função para obter outra função. Nesse caso, nosso operador é $ \hat{A} = \frac{d}{dt} $, que representa a operação de derivação em relação a $ t $.
Já uma autofunção (ou função própria) de um operador é uma função que, quando o operador é aplicado a ela, o resultado é a mesma função multiplicada por um número constante, chamado de autovalor. Em outras palavras, se $ \hat{A} f(t) = \lambda f(t) $, então $ f(t) $ é uma autofunção de $ \hat{A} $ com autovalor $ \lambda $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o operador $ \hat{A} $ à função $ f(t) = e^{i \omega t} $:
Passo 4
Para derivar $ e^{i \omega t} $, usamos a regra básica da derivação de funções exponenciais. A derivada de $ e^{kt} $ em relação a $ t $ é $ k e^{kt} $, onde $ k $ é uma constante.
Aqui, $ k = i \omega $, então:
Passo 5
Observamos que:
Onde $ \lambda = i \omega $. Isso mostra que, após aplicar o operador $ \hat{A} $ a $ f(t) $, obtemos a mesma função multiplicada por $ i \omega $.
Passo 6
Portanto, concluímos que $ f(t) = e^{i \omega t} $ é uma autofunção do operador $ \hat{A} = \frac{d}{dt} $ e o autovalor correspondente é $ \lambda = i \omega $.
Resposta
$ f(t) = e^{i \omega t} $ é uma autofunção de $ \hat{A} = \frac{d}{dt} $ com autovalor $ \lambda = i \omega $.